Найдите наибольшее натуральное число $n$, для которого верно неравенство \[ \left(1^3+2^3+\ldots+n^3\right)-106(1+2+\ldots+n)+105\leqslant0. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $f(n)$ — целое число, ближайшее к числу $\sqrt{n}$. Обозначим $g(n)=\dfrac{1}{f(n)}$. Найдите сумму \[ g(211)+g(212)+\ldots+g(2025). \]
Ответ:
Решение:
Последовательность $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ такова, что $x_1=126\,650$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение \[x_1+x_2+\ldots+x_n=\dfrac{n(8n+17)(2n+1)x_n}{15(2n+3)}.\] Найдите $x_{1562}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ такова, что $a_1=8\,866\,411$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение \[ a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{n(3n-2)(3n+5)a_n}{8}. \] Найдите $a_{508}$.
Ответ:
Решение:
Задана функция $f(x)$ такая, что $f(0)=29\,892\,109$, а для любого натурального значения $k$ справедливо равенство $f(0)+f(1)+\ldots+f(k)=(k+1)(3k+1)f(k)$. Найдите $f(2021)$.
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисовано $100$ прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной — на гиперболе $y=\frac{2x+3}{x}$ в точках с абсциссой $x=n$, $n=1,2,3,\ldots,100$ со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найдите площадь $D$.
Ответ:
Решение:
Про последовательность $\{a_n\}$ известно, что $a_1=1{,}5$ и $a_n=\dfrac{1}{n^2-1}$ при $n\in\mathbb N$, $n\gt 1$. Существуют ли такие значения $n$, что сумма первых $n$ членов этой последовательности отличается от $2{,}25$ меньше, чем на $0{,}01$? Если да, то найдите наименьшее из них.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $\{a_n\}$, в которой $a_1=19$, а отношение каждого следующего элемента к предыдущему при всех целых $n\geqslant 2$ равно \[ \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{(n^2+1)\cdot n}{(n-1)^2+1}. \] Найдите отношение 2023-го члена последовательности к сумме её первых 2022 членов.
Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\frac{2-1}{2^3-1}+\operatorname{arctg}\frac{3-1}{3^3-1}+\ldots+\operatorname{arctg}\frac{100-1}{100^3-1}\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите сумму: \[ \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{2}+\frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2^2}+\frac{\sin\frac{3\pi}{3}}{2^3}+\ldots+\frac{\sin\frac{2010\pi}{3}}{2^{2010}}. \]
Ответ:
Решение:
Пусть \[ S_n=f(0)+f\left(\frac1n\right)+f\left(\frac2n\right)+\ldots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)+f(1). \] Найдите $S_{2013}$ для $f(x)=\dfrac{9^x}{9^x+3}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислите\[\operatorname{tg}\frac{\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{2\pi}{43}+\operatorname{tg}\frac{2\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{3\pi}{43}+\ldots+\operatorname{tg}\frac{k\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{(k+1)\pi}{43}+\ldots+\operatorname{tg}\frac{2019\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{2020\pi}{43}.\]
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $a_k=\dfrac{1}{k^2+k}$, $k\in\mathbb{N}$. Известно, что\[a_p+a_{p+1}+\ldots+a_{q-1}=\frac{1}{43}\]для некоторых натуральных $p$ и $q$ ($p\lt q$). Найдите $p+q$.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $a_n=n!\,(n^2-2025n+1)$ для всех натуральных $n$. Найдите сумму первых 2025 членов этой последовательности.
Ответ:
Решение:
Найдите величину\[f\left(\frac{1}{2016}\right)+f\left(\frac{2}{2016}\right)+\ldots+f\left(\frac{2016}{2016}\right),\]если $f(x)=\dfrac{x^3+9x-2}{x^2-x+2}$.
Ответ:
Решение:
Какое из чисел больше: $\dfrac{1}{99}$ или\[\frac{1}{9903}+\frac{1}{9903+200}+\frac{1}{9903+200+202}+\ldots+\frac{1}{9903+200+202+\ldots+2018}?\]
Ответ:
Решение:
Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2012}$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, причём $\cos\alpha_k\neq 0$ для всех $k=1,2,\ldots,2012$ и \[\frac{1}{\cos\alpha_1\cdot\cos\alpha_2}+\frac{1}{\cos\alpha_2\cdot\cos\alpha_3}+\ldots+\frac{1}{\cos\alpha_{2011}\cdot\cos\alpha_{2012}}=0.\] Найдите все возможные значения $d$, не превосходящие по модулю $\pi$.
Ответ:
Решение:
Сравните числа \[\left(1+\frac{2}{3^3}\right)\left(1+\frac{2}{5^3}\right)\ldots\left(1+\frac{2}{2013^3}\right)\quad\text{и}\quad\sqrt{\frac32}.\]
Ответ:
Решение:
Стрелок сделал $30$ выстрелов в мишень. За первое попадание ему начислили $13$ баллов, а за каждое следующее попадание начисляли на $0{,}9$ баллов больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал $215{,}4$ балла?
Ответ:
Решение: