Пусть $S_n$ — сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$. Известно, что \[ S_{n+1}=2n^2-21n-23. \]
1. Укажите формулу $n$-го члена этой прогрессии.
2. Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
3. Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа
1. Укажите формулу $n$-го члена этой прогрессии.
2. Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
3. Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее число членов конечной арифметической прогрессии с разностью 4, при условии, что квадрат её первого члена в сумме с остальными членами не превосходит 100.
Ответ:
Решение:
Заемщик и кредитор договорились, что беспроцентный кредит в $615$ т. р. будет выплачиваться ежемесячно в последний день месяца. В первый месяц возвращается некоторая сумма (целое число т. р.), а в каждый последующий месяц возвращается сумма на $1$ т. р. большая, чем в предыдущем месяце. На какое максимальное число месяцев мог быть выдан такой кредит и какую сумму при этом выплатил заемщик в первый месяц?
Ответ:
Решение:
Числа $\frac{1}{17}$, $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{13}$ являются членами арифметической прогрессии с возрастающими номерами. Каково наибольшее значение разности этой прогрессии?
Ответ:
Решение:
Известно, что арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, разность прогрессии равна 7 и сумма первых нескольких членов прогрессии равна 2744. Найдите все возможные значения первого члена прогрессии. В ответ запишите их сумму.
Ответ:
Решение:
Среди первых ста членов арифметической прогрессии с положительной разностью есть числа $\dfrac{13}{6}$, $\dfrac{75}{2}$ и $\dfrac{389}{6}$. Найти разность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ с ненулевой разностью такова, что последовательность $b_n=a_n\cdot\sin a_n$ также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии $\{a_n\}$, если для всех $n$ справедливо равенство $2\cos^2 a_n=\cos a_{n+1}$.
Ответ:
Решение:
При каком натуральном значении $n$ числа $n$, $n+15$, $46n-30$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая геометрическая прогрессия $b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots$ Известно, что \[ b_2+b_4=10,\quad b_4^2-b_2^2=60. \] Чему равен пятый член прогрессии?
Ответ:
Решение:
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её членов, взятых через один, начиная со второго, равна 2, а сумма её членов, взятых через один, начиная с третьего, равна 1.
Ответ:
Решение:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, \ldots$ равна 60, сумма квадратов членов этой прогрессии равна 1200. Найдите сумму новой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель отличается от знаменателя исходной геометрической прогрессии только знаком.
Ответ:
Решение:
Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии равна 93, а сумма следующих пяти членов равна 2976. Найдите сумму первых семи членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её второй член равен 3, а сумма первых трёх её членов равна 13.
Ответ:
Решение:
Сумма шести первых членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, в 344 раза больше суммы трех ее первых членов. Найдите знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма первых $12$ членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, равна $3003$, а сумма обратных величин первых $12$ членов этой прогрессии равна $1001$. Найдите произведение первых $12$ членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна $19$, а сумма их квадратов равна $741$. Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может иметь знаменатель геометрической прогрессии $b_1,b_2,\ldots$, если число $5$ является корнем уравнения $b_{10}x^9+\ldots+b_3x^2+b_2x+b_1=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $p$, при каждом из которых числа $4p+5$, $2p$ и $|p-3|$ являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $p$, при каждом из которых числа $p-2$, $2\sqrt{p}$ и $-3-p$ являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно $\frac{48}{7}$, а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно $\frac{144}{17}$.
Ответ:
Решение: