Вычислите сумму \[\frac{x_1^3}{1-3x_1+3x_1^2}+\frac{x_2^3}{1-3x_2+3x_2^2}+\ldots+\frac{x_{101}^3}{1-3x_{101}+3x_{101}^2},\] если для всех $i$ от 1 до 101 выполнено, что $x_i=\dfrac{i}{101}$.
Ответ:
Решение:
Вычислите: \[ \left(\dfrac{1+2}{3}+\dfrac{4+5}{6}+\dfrac{7+8}{9}+\ldots+\dfrac{2017+2018}{2019}\right)+\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{673}\right). \]
Ответ:
Решение:
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ удовлетворяет равенству \[ a_1+a_2+\ldots+a_{2n-1}=a_n^2 \] при всех натуральных $n$. Найдите все такие последовательности, в которых встречается число 3.
Ответ:
Решение:
Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2025, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно $-2019$, потому что $1-2025+5=-2019$. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.
Ответ:
Решение:
Последовательность целых чисел $\{x_n\}$ такова, что \[x_1=1000\quad\text{и}\quad x_{n+1}=|x_n-7|\] для всех $n\geqslant1$. Найдите такое минимальное $n$, что $x_{n+2}=x_n$.
Ответ:
Решение:
Изначально на доске написано натуральное число $N$. В любой момент Миша может выбрать число $a\gt 1$ на доске, стереть его и дописать все натуральные делители $a$, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано $N^2$ чисел. При каких $N$ это могло случиться?
Ответ:
Решение:
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
Ответ:
Решение:
В таблицу $10\times10$ записаны положительные числа так, что в любой строке числа образуют арифметическую прогрессию (в порядке следования слева направо), а в любом столбце — геометрическую прогрессию (в порядке следования сверху вниз). Докажите, что знаменатели всех этих геометрических прогрессий равны.
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая последовательность из 8 действительных чисел. Диана выписала всевозможные последовательности из 4 чисел, идущих в ней подряд. Оказалось, что две из пяти новых последовательностей являются арифметическими прогрессиями с разностями 4 и 36 соответственно, а одна из последовательностей является геометрической прогрессией. Найдите наибольшее из данных 8 чисел. Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
У Васи Пупкина кончились деньги, и он нанялся на работу. По договору он работал без выходных и за каждый день работы он получал по 100 грошей. Получаемые деньги Вася начал тратить. В первый день работы он потратил 1 грош, а в каждый следующий день тратил на 1 грош больше, чем в предыдущий. К концу какого дня работы Вася снова оказался без денег? (Вася ежедневно получал 100 грошей в конце работы, а тратил деньги после работы.)
Ответ:
Решение:
Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит $2n$ членов. Известно, что разность суммы последних $n$ и суммы первых $n$ членов равна 450. Укажите все возможные значения $n$, если известно, что $n\gt 1$.
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a_1, a_2, \ldots, a_{90}$ образуют арифметическую прогрессию. Чему равно \[a_2+a_5+a_8+\ldots+a_{89},\] если $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{90}=3000$?
Ответ:
Решение:
В ряду чисел \[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ \ldots,\ 201,\ 201,\ \ldots,\ 201 \] каждое число $n$ встречается ровно $n$ раз для всех $1\leqslant n\leqslant201$. Выберем в этом ряду такое число, слева и справа от которого чисел поровну. Определите это число.
Ответ:
Решение:
Аня расставляет камешки на песке. Сначала она поставила один камень, потом добавила камешки, чтобы получился пятиугольник, затем сделала из камешков внешний большой пятиугольник, после этого ещё один внешний пятиугольник и т. д., как на рисунке. Количество камней, которые у неё были расставлены на первых четырёх картинках: 1, 5, 12 и 22. Если продолжать составлять такие картинки дальше, то сколько камней будет на 10-й картинке?
Ответ:
Решение:
Числа $\frac{1}{a+b}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{b+c}$ образуют арифметическую прогрессию. Верно ли, что числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ также образуют арифметическую прогрессию?
Ответ:
Решение:
Дана арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ такая, что \[\begin{aligned} a_1+a_2&=9,\\ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_8&=108.\end{aligned}\] Найдите $a_1$ и разность этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Мише каждый день дают 100 рублей на карманные расходы. В первый день он потратил 10 рублей, во второй хочет потратить 20 рублей, в третий — 30 рублей и так далее каждый следующий день он тратит на 10 рублей больше, чем в предыдущий. На какой по счету день Мише не хватит денег на задуманную покупку? Неизрасходованные за день деньги остаются у Миши, изначально денег у него не было.
Ответ:
Решение:
Девять действительных $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_9$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что $a_9$ в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите $a_1$, если известно, что $a_4=6$.
Ответ:
Решение:
У Юры есть $n$ карточек, на которых написаны числа от 1 до $n$. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке?
Ответ:
Решение:
Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых её 10 членов равна 60, а сумма первых 20 её членов равна 320. Чему может быть равен 15-й член этой прогрессии?
Ответ:
Решение: