На середине ребра $B_1C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $ABM$. Найти площадь сечения, если $AB=6$, $BC=4\sqrt3$, $AA_1=2$.
Ответ:
Решение:
На середине ребра $B_1C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $ABM$. Найти площадь сечения, если $AB=6$, $BC=4\sqrt3$, $AA_1=\sqrt{13}$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $SA$, $SB$ и $SC$ пирамиды $SABC$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно так, что $SM:MA=SN:NB=SK:KC=1:3$.
а) Докажите, что плоскости $(ABC)$ и $(MNK)$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если площадь основания $ABC$ пирамиды равна $48$.
а) Докажите, что плоскости $(ABC)$ и $(MNK)$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если площадь основания $ABC$ пирамиды равна $48$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $SA$, $SB$ и $SC$ пирамиды $SABC$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно так, что $SM:MA=SN:NB=SK:KC=1:2$.
а) Докажите, что плоскости $(ABC)$ и $(MNK)$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если площадь основания $ABC$ пирамиды равна $45$.
а) Докажите, что плоскости $(ABC)$ и $(MNK)$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если площадь основания $ABC$ пирамиды равна $45$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=5$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=3$, боковое ребро призмы $AA_1=2$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=6$, высота $SO=3\sqrt2$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$, все рёбра которой равны, проведена высота $SO$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=6$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=6$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=1$, боковое ребро призмы $AA_1=2$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 3, на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 2, на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=4$, высота $SO=4$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=2$, высота $SO=4$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_{1}$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
Ответ:
Решение:
Основание четырёхугольной пирамиды $SABCD$ — параллелограмм $ABCD$. Через середину ребра $SC$ и точку $A$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $BD$ основания. Пусть $P$ — точка пересечения этой плоскости с прямой $CD$.
а) Докажите, что $D$ — середина отрезка $CP$.
б) Найдите, объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен $V$.
а) Докажите, что $D$ — середина отрезка $CP$.
б) Найдите, объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен $V$.
Ответ:
Решение: