В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны равны $AB=AA_1=4$, $BC=12$. На серединах ребёр $A_1B_1$ и $BB_1$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, а на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $(KLM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
На ребрах $BB_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты точка $K$ и $M$ соответственно, причём $BK:KB_1=2:1$ и $CM:MC_1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
Через середину ребра $AB$ куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$, проведена плоскость, параллельная прямым $BD_{1}$ и $A_{1}C_{1}$.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ $DB_{1}$?
2) Найдите площадь полученного сечения.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ $DB_{1}$?
2) Найдите площадь полученного сечения.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $AB=4$ на серединах рёбер $AD$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти периметр и площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $(BC_1K)$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовем точку эквидистантной, если найдутся две вершины куба, для которых эта точка является серединой отрезка. Сколько эквидистантных точек в кубе?
Ответ:
Решение:
Сумма длин двух ребер прямоугольного параллелепипеда равна 2020, а произведение равно длине третьего ребра. Найдите диагональ этого параллелепипеда, если известно, что она на 1 длиннее третьего ребра.
Ответ:
Решение:
По деревянному бруску (прямоугольному параллелепипеду) высотой 25 и площадью основания 60 делаются последовательно два плоских параллельных наклонных среза: второй — на 2 ниже первого. После первого среза, наивысшая и наинизшая точки которого находятся на высоте 15 и 10, остаётся нижняя часть бруска, которую перед вторым срезом можно повернуть на любой угол вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии основания бруска. Каков наименьший возможный объем верхнего кусочка, отсекаемого от этой части вторым срезом?
Ответ:
Решение:
Куб с ребром $a=\sqrt{2+\sqrt3}$ освещается цилиндрическим лучом света радиуса $\rho=\sqrt2$, направленным вдоль главной диагонали куба. Найдите площадь освещённой части поверхности куба.
Ответ:
Решение:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ повёрнут на $90^\circ$ вокруг прямой, проходящей через середины противоположных рёбер $AD$ и $B_1C_1$. Найдите объём общей части исходного куба и повёрнутого.
Ответ:
Решение:
В куб с ребром $1$ поместили $8$ непересекающихся шаров (возможно, разного размера). Может ли сумма диаметров этих шаров быть больше $4$?
Ответ:
Решение:
Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
а) меньше $4/5$;
б) меньше $4/7$?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
а) меньше $4/5$;
б) меньше $4/7$?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
Ответ:
Решение:
У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ четыре числа — длины рёбер и диагонали $AC_1$ — образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью $d$, причём $AA_1\lt AB\lt BC$. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса $R$ расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, $ABCD$, а вторая — граней $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $A_1B_1C_1D_1$. Найти:
а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми $CD_1$ и $AC_1$,
в) радиус $R$.
а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми $CD_1$ и $AC_1$,
в) радиус $R$.
Ответ:
Решение:
На гранях единичного куба отметили $8$ точек, которые служат вершинами меньшего куба. Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Петя на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметил точку $X$, делящую ребро $AB$ в отношении $1:2$, считая от вершины $A$. Приведите пример, как Петя может отметить на рёбрах $CC_1$ и $A_1D_1$ соответственно точки $Y$ и $Z$, чтобы треугольник $XYZ$ был равносторонним. Пример обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $P$ — середина ребра $AA_1$, точка $Q$ — середина ребра $CD$, точка $R$ — середина ребра $B_1C_1$. Докажите, что $\angle PB_1Q\lt \angle PRQ$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ площадь треугольника $BCC_1$ равна 1, треугольника $ACC_1$ — 34.
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?
Ответ:
Решение: