Из вершины $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ со сторонами $AC=BC=7$ восстановлен перпендикуляр $CD=16$ к плоскости треугольника. Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно $17$. Найти основание $AB$ треугольника.
Ответ:
Решение:
Из вершины $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ со сторонами $AC=BC=9$ восстановлен перпендикуляр $CD=13$ к плоскости треугольника. Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно $15$. Найти основание $AB$ треугольника.
Ответ:
Решение:
Из вершины $D$ ромба $ABCD$ со стороной 30 и углом $\angle B=150^{\circ}$ восстановлен перпендикуляр $DS=8$ к плоскости ромба. Найти расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
Из вершины $D$ ромба $ABCD$ со стороной 10 и углом $\angle B=150^{\circ}$ восстановлен перпендикуляр $DS=12$ к плоскости ромба. Найти расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
Из вершины $D$ ромба $ABCD$ со стороной 14 и углом $\angle B=150^{\circ}$ восстановлен перпендикуляр $DS=24$ к плоскости ромба. Найти расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
Из вершины $D$ ромба $ABCD$ со стороной 16 и углом $\angle B=150^{\circ}$ восстановлен перпендикуляр $DS=15$ к плоскости ромба. Найти расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
Из вершины $D$ ромба $ABCD$ со стороной 24 и углом $\angle B=150^{\circ}$ восстановлен перпендикуляр $DS=5$ к плоскости ромба. Найти расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
Стороны треугольника равны 15, 13 и 4. Расстояние от точки $S$, равноудаленной от сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{2}$. Найти расстояние от точки $S$ до стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Стороны треугольника равны 17, 10 и 9. Расстояние от точки $S$, равноудаленной от сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $\displaystyle \sqrt{21}$. Найти расстояние от точки $S$ до стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Стороны треугольника равны 20, 15 и 7. Расстояние от точки $S$, равноудаленной от сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $\displaystyle \sqrt{21}$. Найти расстояние от точки $S$ до стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Стороны треугольника равны 15, 13 и 4. Расстояние от точки $S$, равноудаленной от сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{2}$. Найти расстояние от точки $S$ до стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Стороны треугольника равны 17, 10 и 9. Расстояние от точки $S$, равноудаленной от сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $\displaystyle 4\sqrt{2}$. Найти расстояние от точки $S$ до стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Стороны треугольника равны 20, 15 и 7. Расстояние от точки $S$, равноудаленной от сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $\displaystyle 4\sqrt{2}$. Найти расстояние от точки $S$ до стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Точка $S$ лежит вне плоскости прямоугольника $ABCD$. Известно, что $AB=6$, $BC=4$, $SA=3$, $SB=3\sqrt5$ и $SD=5$.
а) Докажите, что прямая $SA$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.
а) Докажите, что прямая $SA$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.
Ответ:
Решение:
Точка $S$ лежит вне плоскости прямоугольника $ABCD$. Известно, что $AB=5\sqrt{15}$, $BC=12$, $SA=5$, $SB=20$ и $SD=13$.
а) Докажите, что прямая $SA$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.
а) Докажите, что прямая $SA$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.
Ответ:
Решение:
Точка $S$ лежит вне плоскости прямоугольника $ABCD$. Известно, что $AB=6$, $BC=15$, $SA=8$, $SB=10$ и $SD=17$.
а) Докажите, что прямая $SA$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.
а) Докажите, что прямая $SA$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.
Ответ:
Решение:
Точка $S$ лежит вне плоскости прямоугольника $ABCD$. Известно, что $AB=3\sqrt{21}$, $BC=8$, $SA=6$, $SB=15$ и $SD=10$.
а) Докажите, что прямая $SA$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.
а) Докажите, что прямая $SA$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.
Ответ:
Решение:
На уроке рисования учитель сложил из нескольких одинаковых кубиков фигуру, а Петров и Васечкин нарисовали её с двух различных точек зрения (см. рисунок). Из скольких кубиков могла состоять эта фигура? (В ответе укажите произведение наибольшего и наименьшего возможного значения.)
Ответ:
Решение:
Зимой в городе выпало такое количество снега, что при расчистке улиц его некуда было складывать, поэтому коммунальная служба города организовала временные пункты плавления снега на прямоугольной площадке размером $4$ м длиной и $2$ м шириной. Ограждений по краям нет. Чтобы снег не осыпался за границы, угол наклона его поверхности к земле со всех сторон не должен превышать $\alpha$, где $\operatorname{tg}\alpha=3$. Снег насыпан так, что занимает максимально возможный объём при соблюдении этого условия. И при этом объем талой воды не превышает максимально возможный объем водоотвода.
Из-за разной плотности снега в нижних и верхних слоях (нижние слои более уплотнены временем и весом), коэффициент таяния (отношение объёма полученной воды к объёму снега) зависит от высоты слоя. Для упрощения расчётов снежную кучу высотой $H$ разделили на три горизонтальных слоя одинаковой толщины.
Из-за разной плотности снега в нижних и верхних слоях (нижние слои более уплотнены временем и весом), коэффициент таяния (отношение объёма полученной воды к объёму снега) зависит от высоты слоя. Для упрощения расчётов снежную кучу высотой $H$ разделили на три горизонтальных слоя одинаковой толщины.
- Верхний слой (от $2H/3$ до $H$ метров высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.3$ м$^3$ воды.
- Средний слой (от $H/3$ до $2H/3$ метров высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.6$ м$^3$ воды.
- Нижний слой (от $0$ до $H/3$ метра высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.9$ м$^3$ воды.
Ответ:
Решение:
На плоской горизонтальной площадке стоят $5$ прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов $\alpha$ или $\beta$ к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые $4$ из этих прожекторов можно повернуть так, что все $4$ испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все $5$ прожекторов, чтобы все $5$ лучей пересеклись в одной точке?
Ответ:
Решение: