Расстояние от центра $O$ шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно $4\sqrt{2}$. Найти:
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки $O$ до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки $O$ до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
Ответ:
Решение:
Даны пирамида $ABCD$ и цилиндр. Окружность нижнего основания цилиндра вписана в грань $ABC$. Окружность верхнего основания цилиндра пересекает ребра $DA$, $DB$ и $DC$, а ее центр лежит на грани $ABD$. Радиус цилиндра равен 3, объем пирамиды $ABCD$ равен $27\sqrt{2}$, ребро $AB=24$. Найти двугранный угол между гранями $ABC$ и $ABD$ и радиус описанной около $ABCD$ сферы.
Ответ:
Решение:
Прямой круговой конус с вершиной $O$ имеет высоту 4 и образующую длины 5. Пирамида $ABCD$ вписана в конус так, что $A$ и $C$ принадлежат окружности основания, $B$ и $D$ принадлежат боковой поверхности, причем $B$ принадлежит образующей $OA$. Треугольники $OAC$ и $OBD$ равносторонние, причем $OB=3$. Найти объём пирамиды $ABCD$, двугранный угол при ребре $AB$ и радиус сферы, описанной около $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В пирамиде $SABC$ каждый из углов $ASB$ и $ASC$ равен $\arccos\dfrac{1}{\sqrt5}$, угол $BSC$ прямой, ребро $SB$ равно $a$. Центр сферы, вписанной в пирамиду $SABC$, лежит на высоте $SD$. Найти $SA$, $SD$ и радиус сферы, вписанной в пирамиду $SABC$.
Ответ:
Решение:
Внутри конуса с вершиной $A$ и высотой 8 расположены сфера $S_1$ с центром $O_1$ радиуса 1 и сфера $S_2$ с центром $O_2$ радиуса $\dfrac14$, причём $O_1O_2=\dfrac32$. Сфера $S_1$ касается плоскости основания конуса в его центре $O$. Обе сферы $S_1$ и $S_2$ касаются образующей конуса $AB$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Прямые $O_1O_2$ и $AB$ пересекаются в точке $L$. Плоскость $\Pi$ касается обеих сфер и пересекает отрезок $A_1A_2$ в его середине $M$. Найти длины отрезков $A_1A_2$ и $O_2L$, а также расстояния от точек $L$ и $A$ до плоскости $\Pi$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, причём $AB=1$, $BC=2$. Пусть $N$ — середина $SB$, $M$ — середина $SC$, причём $BN=MC=3MN$. Каким может быть минимальный радиус сферы, описанной около пирамиды $SABCD$? Найти объём пирамиды $SABCD$, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AC$, $BC$, $BS$, $AS$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ с вершиной $S$ выбраны точки $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Известно, что точки $K$, $L$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости, причём $KL=MN=2$, $KN=LM=18$. В четырёхугольнике $KLMN$ расположены две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$, причём окружность $\Omega_1$ касается сторон $KN$, $KL$ и $LM$, а окружность $\Omega_2$ касается сторон $KN$, $LM$ и $MN$. Прямые круговые конусы $\mathcal F_1$ и $\mathcal F_2$ с основаниями $\Omega_1$ и $\Omega_2$ соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина $P$ конуса $\mathcal F_1$ лежит на ребре $AB$, а вершина $Q$ конуса $\mathcal F_2$ лежит на ребре $CS$.
а) Найдите $\angle SAB$.
б) Найдите длину отрезка $CQ$.
а) Найдите $\angle SAB$.
б) Найдите длину отрезка $CQ$.
Ответ:
Решение:
Дана пирамида $ABCD$, вершина $A$ которой лежит на одной сфере с серединами её рёбер, кроме ребра $AD$. Известно, что $AB=1$, $BD=2$, $CD=3$. Найдите длину ребра $BC$. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
Ответ:
Решение:
На основании прямого кругового конуса расположены три попарно касающихся друг друга шара одинакового радиуса. Каждый из них касается также боковой поверхности конуса. Четвёртый шар того же радиуса касается первых трёх и боковой поверхности конуса. Найдите объём конуса, если радиус окружности, образованной точками касания четвёртым шаром боковой поверхности конуса, равен $\sqrt2$.
Ответ:
Решение:
Поверхность выпуклого многогранника $A_1B_1C_1A_2B_2C_2$ состоит из восьми треугольных граней $A_iB_jC_k$, где $i$, $j$, $k$ меняются от $1$ до $2$. Сфера с центром в точке $O$ касается всех этих граней. Докажите, что точка $O$ и середины трёх отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ лежат в одной плоскости.
Ответ:
Решение:
Все грани шестигранника — четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник — куб?
Ответ:
Решение:
В основании выпуклой четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, а никакие две стороны не равны. Известно, что вписанные сферы тетраэдров $SABC$ и $SACD$ касаются. Докажите, что вписанные сферы тетраэдров $SABD$ и $SBCD$ касаются.
Ответ:
Решение:
Площадь проекции прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параллелограммом $ABCD$ в основании на плоскость, перпендикулярную её диагонали $AC_1$, равна $\sqrt{41}$. Чему будет равна площадь проекции этой призмы на плоскость, перпендикулярную диагонали $BD_1$, если $AA_1=5$, $AC=12$, $BD=4$?
Ответ:
Решение:
В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.
Ответ:
Решение:
Коробка конфет имеет форму правильной шестиугольной призмы со стороной основания $10$ и высотой $5\sqrt{3}$. Из двух разных вершин коробки $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ одновременно с одной и той же скоростью начинают двигаться две мухи, меняя направление движения только в вершинах. Одна муха начинает движение в вершине $A$ и двигается только по рёбрам призмы, другая — только по диагоналям оснований и боковых граней. Через некоторое время мухи встречаются. В каких вершинах коробки может произойти встреча?
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$ и $K$ расположены на боковых рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ так, что $AM:AA_1=1:2$, $BN:BB_1=1:3$, $CK:CC_1=1:4$. Точка $P$ принадлежит призме. Найдите наибольшее возможное значение объёма пирамиды $MNKP$, если объём призмы равен $16$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовем точку эквидистантной, если найдутся две вершины куба, для которых эта точка является серединой отрезка. Сколько эквидистантных точек в кубе?
Ответ:
Решение:
Сумма длин двух ребер прямоугольного параллелепипеда равна 2020, а произведение равно длине третьего ребра. Найдите диагональ этого параллелепипеда, если известно, что она на 1 длиннее третьего ребра.
Ответ:
Решение:
По деревянному бруску (прямоугольному параллелепипеду) высотой 25 и площадью основания 60 делаются последовательно два плоских параллельных наклонных среза: второй — на 2 ниже первого. После первого среза, наивысшая и наинизшая точки которого находятся на высоте 15 и 10, остаётся нижняя часть бруска, которую перед вторым срезом можно повернуть на любой угол вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии основания бруска. Каков наименьший возможный объем верхнего кусочка, отсекаемого от этой части вторым срезом?
Ответ:
Решение:
Куб с ребром $a=\sqrt{2+\sqrt3}$ освещается цилиндрическим лучом света радиуса $\rho=\sqrt2$, направленным вдоль главной диагонали куба. Найдите площадь освещённой части поверхности куба.
Ответ:
Решение: