В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но меньше, чем количество подъездов. Сколько в доме этажей, если всего квартир 715?
Ответ:
Решение:
Возрасты трёх братьев — это различные натуральные числа. Произведение их возрастов сейчас равно 18. А через год произведение их возрастов будет равно 60. Сколько лет среднему брату сейчас?
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $f$ третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент $f$ равен 1 или $-1$. Известно, что $f$ имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений $|f(1)|$, $|f(2)|$, $|f(3)|$ и т. д. встретится квадрат натурального числа.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой.
Ответ:
Решение:
Назовём многочлен $P(x)$ бицелозначным, если числа $P(k)$ и $P'(k)$ целые при любом целом $k$. Пусть $P(x)$ — бицелозначный многочлен степени $d$, и пусть $N_d$ — произведение всех составных чисел, не превосходящих $d$ (произведение пустого множества сомножителей считаем равным 1). Докажите, что старший коэффициент многочлена $N_d\cdot P(x)$ — целый.
Ответ:
Решение:
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен $P(x)$ степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им $k$ целых чисел $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_k$ и отдельно сообщит значение выражения $P(n_1)P(n_2)\ldots P(n_k)$. По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем $k$ учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
Ответ:
Решение:
Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт $k$ ($k\gt 0$) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет $k+1$ рублей, на третий — $k+2$ рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие $k$, при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей.
Ответ:
Решение:
У многочлена $P(x)$ все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что $P(1)=4$ и $P(5)=152$. Чему равно $P(11)$?
Ответ:
Решение:
Среди всех остатков, которые дают степени 2 при делении на нечётное число $m$, большее 1, оказалось ровно $k$ чисел, больших $\dfrac{m}{2}$. Пусть натуральное число $n$ таково, что $2^n-1$ делится на $m$. Докажите, что если число $\dfrac{2^n-1}{m}$ представлено в виде суммы различных целочисленных степеней двойки, то количество слагаемых в такой сумме делится на $k$.
Ответ:
Решение:
Какие натуральные числа можно представить в виде \[ a^2+2023b^2-2024c^2, \] где $a,b,c$ — различные целые числа?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася написали на доске по 100 различных натуральных чисел. Петя поделил все свои числа на Васины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Вася поделил все свои числа на Петины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Оказалось, что наборы выписанных Васей и Петей остатков совпадают. Докажите, что тогда и наборы их исходных чисел совпадают.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ ($k\lt 2020$) удовлетворяют такому условию: для любого из них можно выбрать из остальных чисел одно или несколько так, чтобы сумма их 1024-х степеней делилась на его 1024-ю степень. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — нечётное натуральное число. Дана таблица $n\times n$. Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку (так, расстояние между клетками, соседними по стороне, равно 1). $R$ клеток таблицы окрашены в красный цвет, а другие $B$ клеток — в синий. Известно, что любая прямая, соединяющая центры красной и синей клеток, не параллельна ни одной из диагоналей таблицы. Кроме того, расстояние между любыми красной и синей клетками не равно $n$. Докажите, что $\sqrt{R}+\sqrt{B}\leqslant n$.
Ответ:
Решение:
На доску выписаны 2026 попарно различных натуральных чисел, больших 1. Оказалось, что для любого выписанного числа $a$ найдутся хотя бы $k$ пар выписанных чисел $b\lt c$, для которых $bc-1$ делится на $a-1$. Найдите наибольшее возможное значение $k$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует такое $c\gt 0$, что для любого нечётного простого $p=2k+1$ числа $1^0$, $2^1$, $3^2$, $\ldots$, $k^{k-1}$ дают хотя бы $c\sqrt{p}$ различных остатков при делении на $p$.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим все 100-значные числа, делящиеся на 19. Докажите, что количество таких чисел, не содержащих цифр 4, 5 и 6, равно количеству таких чисел, не содержащих цифр 1, 4 и 7.
Ответ:
Решение:
В строку выписаны 200 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел строки правое либо в 9 раз больше левого, либо в 2 раза меньше левого. Может ли сумма всех этих 200 чисел равняться $24^{2022}$?
Ответ:
Решение:
Даны непостоянный многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и натуральное число $n$. Положим $a_0=n$, $a_k=P(a_{k-1})$ при всех натуральных $k$. Оказалось, что для любого натурального $b$ в последовательности $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ есть число, являющееся $b$-й степенью натурального числа, большего 1. Докажите, что многочлен $P(x)$ — линейный.
Ответ:
Решение:
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ задана условиями $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{[\sqrt{n}]}$ при всех натуральных $n\geqslant 1$. Докажите, что для каждого натурального $k$ в этой последовательности найдётся член, делящийся на $k$. (Как обычно, $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что число $a^n+1$ не делится на $n^b+1$.
Ответ:
Решение: