Найдите количество всех пар натуральных чисел $x,y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[3]{10^x}+x^3+3x^2+x+5y=10^{1001}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $x, y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[4]{10^x}+x^2+x+5y=10^{2101}. \]
Ответ:
Решение:
Сколько пар натуральных чисел $(a;b)$ таких, что сумма $a+b$ чётна, удовлетворяют равенству \[ (a+1)a+7b=1\,000\,001? \]
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее значение может принимать сумма $20$ различных натуральных чисел таких, что
- ни одно из которых не делится ни на $2$, ни на $3$, ни на $5$, ни на $7$,
- сумма любых двух чисел делится на $2$,
- сумма любых трёх чисел делится на $3$,
- сумма любых пяти чисел делится на $5$,
- сумма любых семи чисел делится на $7$?
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $333300$ и таких, что $k^2-2k$ делится нацело на $303$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $445000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $445$.
Ответ:
Решение:
Для некоторого простого числа $p$ рассматривается числовая последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; …, где $x_n$ равно остатку от деления $p^{n+2}$ на 24. Найдите разность $x_{2024}-x_{2018}$.
Ответ:
Решение:
Для некоторого простого числа $p$ рассматривается числовая последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; …, где $x_n$ равно остатку от деления $p^{n+2}$ на 24. Найдите разность $x_{2024}-x_{2020}$.
Ответ:
Решение:
Числа от 100 до 999 выписаны без пробелов. С каким остатком полученное 2700-значное число делится на 7?
Ответ:
Решение:
Последовательность Фибоначчи задана рекуррентно $a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$, $n\geqslant2$. С каким остатком число 3 в степени $a_{2022}$ делится на 13?
Ответ:
Решение:
Найдите остаток от деления на 11 числа $A$: \[ A=\dfrac{2^1-2^2+2^3-\ldots+2^9-2^{10}}{-2^{-1}+2^{-2}-2^{-3}+\ldots-2^{-9}+2^{-10}}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.
Ответ:
Решение:
Вася хочет найти все целые числа $a$ такие, что выражение $10n^3-3n^5+7an$ делится на $15$ для всех целых $n$. Какие остатки может давать число $a$ при делении на $15$? Укажите все возможные ответы или докажите, что таких целых чисел $a$ нет.
Ответ:
Решение:
Про натуральные числа $x$ и $y$ и целое нечётное число $z$ известно, что \[ x!+y!=24z+2017. \] Найдите все возможные такие тройки чисел $(x,y,z)$.
Ответ:
Решение:
Если из четырёхзначного числа $X$ вычесть сумму его цифр, то получится натуральное число $N=K^2$, причём $K$ — натуральное число, дающее остаток $5$ при делении на $20$ и остаток $3$ при делении на $21$. Найдите число $N$.
Ответ:
Решение:
Аня выписала одно за другим 2018 чисел $\frac{1\cdot2}{2}$, $\frac{2\cdot3}{2}$, $\frac{3\cdot4}{2}$, $\ldots$, $\frac{2018\cdot2019}{2}$ и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?
Ответ:
Решение:
Филателист Андрей решил разложить все свои марки поровну в 3 конверта, но оказалось, что одна марка лишняя. Когда он разложил их поровну в 5 конвертов, лишними оказались 3 марки; наконец, когда он разложил их поровну в 7 конвертов, осталось 5 марок. Сколько всего марок у Андрея, если известно, что недавно он купил для них дополнительный альбом, вмещающий 150 марок, так как такого же старого альбома уже не хватало?
Ответ:
Решение:
Для некоторого натурального $k$ десятичная запись числа $k^2+6k$ заканчивается цифрой 6. Найдите все значения, которые может принимать предпоследняя цифра этой записи.
Ответ:
Решение: