Из бумаги вырезали два разных прямоугольника — но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторонам другого — и какая-то часть столешницы оказалась накрыта всего одним слоем бумаги. Какая наименьшая возможная площадь этой части столешницы?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $k$, при которых число $k^2-101k$ является точным квадратом, т. е. квадратом целого числа.
Ответ:
Решение:
Найдите периметр выпуклого многоугольника, множество вершин которого в координатной записи совпадает с множеством целочисленных пар решений уравнения\[x^2+xy=x+2y+9.\]
Ответ:
Решение:
В центре стола находятся 600 фишек, и Петя готовится играть на нем в игру под названием «Забери больше фишек». Цель игры — убрать со стола как можно больше фишек, соблюдая правило: за один ход можно убрать со стола ровно 154 фишки (или не брать ни одной), а вернуть на стол только 105 (или не возвращать ни одной). Какое наибольшее число фишек может убрать со стола Петя, соблюдая правила? Своих фишек в карманах Пети нет.
Ответ:
Решение:
Доказать, что существует более $2024$ различных троек целых чисел $(x;y;z)$, для которых \[ x^{2022}+y^{2022}=z^{2023}. \]
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных троек натуральных чисел $a$, $b$, $c$, для которых $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac12$? (Тройки, отличающиеся порядком следования элементов, считаются различными.)
Ответ:
Решение:
Найти шесть ненулевых целых чисел, произведение которых не меняется, если из каждого них вычесть двойку.
Ответ:
Решение:
Рациональные числа $x$ и $y$ таковы, что их логарифмы $\log_{\sqrt{2}}x$ и $\log_{\sqrt[3]{3}}y$ также рациональны и их сумма равна 73. Найти $x$ и $y$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует таких прямоугольных треугольников $ABC$, что в них высота $CD$, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой $AB$ соотношением $2DC+2=AB$, отрезки $CD$, $AD$ и $BD$ имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы $AB$ лежит в промежутке $[10;1000]$?
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$, для которых $a+bc$, $b+ac$ и $b^2-a^2+21c^2$ — три последовательных натуральных числа, расположенных в порядке возрастания.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Назовём числа хорошими, если они представимы в виде $a(a+1)$, где $a\in\mathbb N$. Найдите количество пар хороших чисел, разность которых равна $81\cdot10^{2024}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих соотношению \[ \frac{7}{x}-\frac{6}{y}=\frac{1}{1008}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие уравнению \[x^2(y-2)-x(13y-27)+44y-94=0.\]
Ответ:
Решение:
На доске написано несколько попарно различных натуральных чисел. Если самое маленькое увеличить в 32 раза, то сумма чисел на доске станет равной 477. Если же самое большое число увеличить в 14 раз, то сумма чисел на доске также станет равной 477. Какие числа могли быть написаны на доске?
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений $(x;y;z)$ уравнения $60^x\cdot\left(\frac{500}{3}\right)^y\cdot 360^z=2160$, удовлетворяющих условию $|x+y+z|\leqslant 60$.
Ответ:
Решение:
Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно $72^{612}$. Найдите количество таких прогрессий.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: