Назовём натуральное число $m$ привлекательным, если равенство \[\left\lfloor\dfrac{2024}{n}\right\rfloor=m\] не выполняется ни для какого натурального $n$. Напомним, что $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$.
1. Найдите наименьшее привлекательное число.
2. Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
1. Найдите наименьшее привлекательное число.
2. Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
Ответ:
Решение:
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$), при которых $a+b$ лежит в $A$, число $ab$ также лежит в $A$. Найдите все полные множества натуральных чисел.
Ответ:
Решение:
На доске написаны $n\gt 3$ различных натуральных чисел, меньших, чем \[(n-1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1).\] Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил $100=14\cdot7+2$ и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.
Ответ:
Решение:
По кругу расставили 2026 попарно различных иррациональных чисел и для каждой пары стоящих рядом чисел $a$ и $b$ вычислили значение выражения $\dfrac{ab}{a-b}$. Может ли ровно одно из 2026 полученных значений быть иррациональным?
Ответ:
Решение:
Сумма дробных частей нескольких положительных чисел равна целой части их произведения. Докажите, что дробная часть суммы этих чисел равна произведению их целых частей. Напомним, что целая часть $[x]$ числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$ (например, $[1{,}3]=1$), а дробная часть $\{x\}$ числа $x$ задаётся формулой $\{x\}=x-[x]$.
Ответ:
Решение:
Можно ли отметить в ряду всех натуральных чисел бесконечно много чисел так, чтобы разность любых двух отмеченных чисел (где из большего вычитается меньшее) была квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение:
На доске написаны $N\geqslant9$ различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся девятое, отличное от них, такое, что сумма этих девяти чисел целая. При каких $N$ это возможно?
Ответ:
Решение:
В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями $x\pm y\pm z=n$ (при всех целых $n$). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка $(x_0,y_0,z_0)$ с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное $k$, при котором точка $(kx_0,ky_0,kz_0)$ лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.
Ответ:
Решение:
На доску записали три рациональных положительных числа. Каждую минуту числа $x$, $y$, $z$ на доске стираются, а вместо них выписываются числа $x+\frac{1}{yz}$, $y+\frac{1}{zx}$, $z+\frac{1}{xy}$. Докажите, что начиная с некоторого момента на доске не будет появляться целых чисел.
Ответ:
Решение: