Дана система уравнений \[ \begin{cases} \sin(x+y)=9\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right),\\ \cos(x+2y)-\sqrt3\sin(x+2y)=-16\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right). \end{cases} \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y$, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух.
Ответ:
Решение:
Для каждой пары целых, положительных чисел $(m,n)$, связанных соотношением \[ 3m+2n=19, \] найти решение $x$ уравнения \[ 2^{r_n x}+r_m\cdot 2^x-8=0, \] где $r_k$ — остаток от деления $k$ на 3.
Ответ:
Решение:
Найдите произведение всех значений $x$, при каждом из которых \[ \Bigl(\sqrt{4-\sqrt{11}}\Bigr)^{x^2-9x+11},\quad 2^{x^2-9x+11},\quad \Bigl(\sqrt{4+\sqrt{11}}\Bigr)^{x^2-9x+11} \] — арифметическая прогрессия.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Некоторые числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенствам \[ \log_3^4 x+6\log_x 3=\log_{x^2}243-8\quad\text{и}\quad\log_3^4(5y)+2\log_{5y}3=\log_{25y^2}\left(3^{11}\right)-8. \] Найдите все возможные значения произведения $xy$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $x$, при каждом из которых выражения \[\log_{2013}\left(\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}+\operatorname{tg}x\right)\quad\text{и}\quad\log_{2012}\left(\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}-\operatorname{tg}x\right)\] равны друг другу.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите произведение корней уравнения \[ \log_{5+\sqrt{15}}(x^2-2x-2)=\log_{5-\sqrt{15}}(12+2x-x^2). \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(x^2-2x-2\right)=\log_{2+\sqrt{3}}\left(x^2-2x-3\right).\]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \log_{2x+1}(4x^2-y^2+8x-6y-4)=2,\\ \log_{y+2}(y^2+6y-x+14)=2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \log_2\left(x^2y+2xy^2\right)-\log_{\frac12}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=4,\\ \log_5\left|\dfrac{xy}{6}\right|=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти решения $(x,y)$ системы уравнений \[\begin{cases}\log_3(5y-x-2)-\log_9(x-y)^2=1,\\ \log_3\left(1-\dfrac{2}{y}-4x\right)-\log_9 x^2=1,\end{cases}\] которые удовлетворяют неравенству $x-y\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}(x-2)(x+3)=y(y-5),\\ \log_x(2-y)=\dfrac{x}{y^2}.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \log_x(y+1)=4\log_{x+2}\sqrt{y-1},\\ \log_{y-1}(x+2)=\log_x\left(\dfrac{x^3}{y+1}\right). \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \left(\dfrac{y^5}{x}\right)^{\lg x}=y^{2\lg xy},\\ x^2-2xy-4x-3y^2+12y=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \log_x(5y-x)\cdot\log_y(5x-y)=4,\\ \log_x(5x-y)+\log_y(5y-x)=4. \end{cases} \]
Ответ:
Решение: