Для квадратного трехчлена $P_1(x)=x^2-x-6$ и натурального числа $n$ определим многочлены $P_2(x)=P_1(2x)$, $P_3(x)=P_2(2x)$, $\ldots$, $P_n(x)=P_{n-1}(2x)$. Решить уравнение $P_n(x)=0$ и найти сумму корней многочлена \[ Q_n(x)=P_1(x)+P_2(x)+\ldots+P_n(x). \]
Ответ:
Решение:
Известно, что квадрат любого из корней кубического уравнения \[ x^3-x+2=0 \] является корнем другого, также кубического уравнения. Найдите это уравнение.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $y=x^2+bx+c$ назовём совершенным, если $b$ и $c$ являются его корнями. Найдите все совершенные квадратные трёхчлены.
Ответ:
Решение:
Известно, что в любой тройке $(x,y,z)$ различных чисел, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} x+y+z=\dfrac1a,\\ \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=a, \end{cases} \] есть число, равное $a\ne\pm1$. Найти наименьшее возможное значение выражения $x^2+y^2+z^2$. При каком $a$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что каждое из двух уравнений $x^2+bx+a=0$ и $x^2+cx+a=1$ имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше $-1$. Найдите наименьшее значение $a$.
Ответ:
Решение:
Число $a$ таково, что уравнение $t^3+4t^2+4t+a=0$ имеет три действительных корня $x\lt y\lt z$. Определите, какие числовые значения может принимать выражение \[ A=x^3-4y^2-4z^2-4y-4z+32. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2-x-3=0$. Найдите $\left(x_1^5-20\right)\left(3x_2^4-2x_2-35\right)$.
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2-x-4=0$. Найдите $\left(x_1^5-20x_1\right)\left(x_2^4+16\right)$.
Ответ:
Решение:
Числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ являются корнями уравнения $x^3-6x^2+7x-1=0$. При каких значениях $a$, $b$, $c$ корнями уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ являются числа $x_1+x_2$, $x_2+x_3$ и $x_3+x_1$?
Ответ:
Решение:
Числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ являются корнями уравнения $x^3-6x^2+7x-1=9$. При каких значениях $a$, $b$, $c$ корнями уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ являются числа $x_1+x_2$, $x_2+x_3$ и $x_3+x_1$?
Ответ:
Решение:
Уравнение \[ x^3+\left(23+10\sqrt3\right)x=\left(10+\sqrt3\right)x^2+23\sqrt3 \] имеет три корня: $a$, $b$ и $c$. Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами $a+1$, $b+1$, $c+1$?
Ответ:
Решение:
Уравнение \[ x^3+\left(13+8\sqrt2\right)x=\left(8+\sqrt2\right)x^2+13\sqrt2 \] имеет три корня: $a$, $b$ и $c$. Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами $a+1$, $b+1$, $c+1$?
Ответ:
Решение:
Решите в действительных числах систему уравнений:\[\begin{cases}a+c=4;\\ac+b+d=6;\\ad+bc=5;\\bd=2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
После урока на доске остался график функции $y=\dfrac{k}{x}$ и пять прямых, параллельных прямой $y=kx$ ($k\neq 0$). Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.
Ответ:
Решение:
Уравнение с целыми коэффициентами $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ имеет четыре положительных корня с учётом кратности. Найдите наименьшее возможное значение коэффициента $b$ при этих условиях.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ x^3+(\log_2 5+\log_3 2+\log_5 3)\,x=(\log_2 3+\log_3 5+\log_5 2)\,x^2+1. \]
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что $c\gt ab$.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются многочлены вида \[ P(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+128 \] с неотрицательными коэффициентами $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, имеющие по семь действительных корней (не обязательно различных). Какое наименьшее значение может иметь $P(8)$?
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[x^3-ax^2-(a^3-6a^2+5a+8)x-(a-3)^3=0\] имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию (укажите эти корни).
Ответ:
Решение:
Васе задали на дом уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$, где $p_1$ и $q_1$ — целые числа. Он нашел его корни $p_2$ и $q_2$ и написал новое уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$. Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба — любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?
Ответ:
Решение: