На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не больше половины площади треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ со стороной 4 расположена точка $O$, отстоящая от сторон $AD$ и $CD$ на расстояние 1. Через точку $O$ совершенно случайно проведена прямая $L$, разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что одна из частей будет иметь площадь, не превосходящую 3.
Ответ:
Решение:
На окружности совершенно случайно взяты три точки $A$, $B$ и $C$. Найти вероятность того, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
Ответ:
Решение:
Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 15 см на 20 см круглую кляксу радиусом 2 см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.
Ответ:
Решение:
Саша и Маша задают друг другу по пять каверзных вопросов и отвечают на них, не задумываясь, случайным образом. Вероятность того, что на заданный Машей вопрос Саша скажет неправду, не зависит от номера вопроса и равна $\frac12$. Маша на вопрос Саши дает правдивый ответ с вероятностью $\frac23$ независимо от порядка вопроса. После окончания диалога выяснилось, что Маша дала на два правдивых ответа больше, чем Саша. С какой вероятностью это могло произойти?
Ответ:
Решение:
Игральный кубик подбрасывают дважды, при этом вычисляют и записывают сумму выпавших очков. Такую процедуру повторяют три раза (всего совершают шесть подбрасываний). Найдите вероятность того, что только одна из трех записанных сумм кратна трем.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Робот может совершать равные по длине шаги по дорожке вперед и назад, при этом выбор направления движения каждого шага является случайным и равновозможным. Робот сделал 10 шагов и остановился. Найти вероятность того, что он окажется на расстоянии более двух шагов от начала движения.
Ответ:
Решение:
Монету подбрасывают 90 раз (вероятности выпадения орла и решки в каждом броске одинаковы). Пусть $p$ — вероятность того, что орёл выпадет не меньше 55 раз, а $q$ — вероятность того, что орёл выпадет меньше 35 раз. Найдите $p-q$.
Ответ:
Решение:
Имеется 20 шаров с числами $1, 2, \ldots, 10$, каждое число встречается по два раза. Эти шары случайным образом раскладываются по два в 10 корзин. Из каждой корзины извлекается один шар. Какова вероятность того, что на извлеченных шарах все числа различны?
Ответ:
Решение:
Робот Казимир решил создать шедевр. На неограниченном клетчатом поле он закрашивает клетку чёрным, а потом поочерёдно красит ещё 8 квадратиков, каждый раз выбирая клетку под покраску наугад из соседних к уже закрашенным (соседство по диагонали не подходит, нужна как минимум одна общая сторона).
С какой вероятностью своим последним штрихом он превратит «кольцо» в чёрный квадрат (размерами 3 на 3)?
С какой вероятностью своим последним штрихом он превратит «кольцо» в чёрный квадрат (размерами 3 на 3)?
Ответ:
Решение:
На каждой стороне белого кубика сидит по жуку. Кубик бросили, и жуки переполошились — каждый выбрал наугад одну из 4-х соседних граней и переполз туда. С какой вероятностью кубик не изменит своего первоначального вида?
Ответ:
Решение:
На клетках шахматной доски размером $8\times8$ случайным образом расставлены $4$ одинаковых фигуры. Найти вероятность того, что три из них будут находиться либо на одной горизонтали, либо на одной вертикали, либо на одной из двух главных диагоналей.
Ответ:
Решение:
Блоха Кузя может совершать прыжки по прямой $L$. Старт для прыжков находится в точке $A$ прямой $L$, длина одного прыжка $h$, направление каждого прыжка выбирается случайным и равновозможным. Найти вероятность того, что, сделав от четырех до восьми случайных прыжков, Кузя хотя бы один раз будет находиться на расстоянии $3h$ от $A$.
Ответ:
Решение:
Карточки с буквами П, О, Т, О, М, С, Т, В, О сложили в строку в случайном порядке. С какой вероятностью найдутся три карточки подряд, образующие слово ТОМ или ПОТ? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ:
Решение:
В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V/2$) в суммарном количестве $100$ штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет $80$-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет $50$-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет $20$-процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $45\%$ до $55\%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.
Ответ:
Решение:
Андрей выбирает случайным образом целое число $a$ из отрезка $[-5;6]$ и после этого решает уравнение \[ 3x^3-(3a-4)x^2-(2a-3)x+a+2=0. \] Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых, как минимум, два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибётся.
Ответ:
Решение:
Петя совершенно случайно написал на бумаге два телефонных номера. Какова вероятность того, что суммы последних двух цифр этих номеров отличаются на $6$ единиц?
Ответ:
Решение:
На детском новогоднем празднике раздавали шоколадные и фруктовые конфеты. Дети подходили к деду Морозу, залезали рукой в его мешок и вынимали из него по две конфеты. Когда Петя подошел к мешку, он понял, что шоколадных конфет в мешке почти не осталось и вероятность получить две шоколадные конфеты в три раза меньше, чем шоколадную и фруктовую. Какое наименьшее число шоколадных конфет могло находиться в мешке деда Мороза в момент, когда Петя забирал свои конфеты, если после него еще не менее $10$ детей получили свои конфеты до того, как мешок опустел?
Ответ:
Решение:
На столе лежит колода игральных карт 36 листов. Два опытных игрока Кондрат и Игнат (каждый из них всегда делает правильный ход) начинают игру по следующим правилам. В начале игры каждый из игроков совершенно случайно называет одну из цифр от 1 до 3. Их сумма определяет (на всю игру) максимальное число карт, которые при очередном ходе игроки могут забрать со стола. Игрок не может при своем ходе не взять со стола карту. Выигрывает тот из игроков, кто сможет забрать последнюю карту в колоде. Начинает всегда Кондрат. Какая вероятность победы Игната?
Ответ:
Решение: