В 100 ящиков случайным образом кладут ровно 100 шариков. Какова вероятность того, что в последнем ящике окажется единственный шарик?
Ответ:
Решение:
На экзамене дается три задачи по тригонометрии, две по алгебре и пять по геометрии. Ваня решает задачи по тригонометрии с вероятностью $p_1=0{,}2$, по геометрии с вероятностью $p_2=0{,}4$, по алгебре с вероятностью $p_3=0{,}5$. Чтобы получить тройку, Ване нужно решить не менее пяти задач.
а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач?
б) Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на $0{,}2$.
Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей?
в) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы математическое ожидание числа решенных задач стало наибольшим?
а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач?
б) Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на $0{,}2$.
Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей?
в) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы математическое ожидание числа решенных задач стало наибольшим?
Ответ:
Решение:
Найдите вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз, в эксперименте, в котором:
а) симметричную монету бросают $n$ раз;
б) $n$ раз бросают монету, у которой вероятность выпадения орла при одном бросании равна $p$ ($0\lt p\lt 1$).
а) симметричную монету бросают $n$ раз;
б) $n$ раз бросают монету, у которой вероятность выпадения орла при одном бросании равна $p$ ($0\lt p\lt 1$).
Ответ:
Решение:
В тесте 20 вопросов, на каждый из которых можно ответить «да» или «нет». За каждый верный ответ Коля получает 1 балл. Коля отвечает на вопросы до тех пор, пока на очередной вопрос он не ответит неправильно: при первой же ошибке тест завершается.
Всего у Коли 10 попыток сдать тест. В каждой следующей попытке ни вопросы, ни их порядок не меняются. Так продолжается до тех пор, пока Коля не ответит верно на все вопросы или не исчерпает все попытки.
На все вопросы Коля отвечает наугад, поскольку ответов он не знает. Зато он пользуется информацией, полученной в предыдущих попытках: если с первого раза Коля не угадал ответ на новый для себя вопрос, то в следующей попытке он ответит на него верно.
а) Какое наименьшее гарантированное количество баллов получит Коля?
б) Что более вероятно: что Коля получит 20 баллов или что он получит меньше 20 баллов?
Всего у Коли 10 попыток сдать тест. В каждой следующей попытке ни вопросы, ни их порядок не меняются. Так продолжается до тех пор, пока Коля не ответит верно на все вопросы или не исчерпает все попытки.
На все вопросы Коля отвечает наугад, поскольку ответов он не знает. Зато он пользуется информацией, полученной в предыдущих попытках: если с первого раза Коля не угадал ответ на новый для себя вопрос, то в следующей попытке он ответит на него верно.
а) Какое наименьшее гарантированное количество баллов получит Коля?
б) Что более вероятно: что Коля получит 20 баллов или что он получит меньше 20 баллов?
Ответ:
Решение:
На борту авиалайнера $2n$ пассажиров, и авиакомпания загрузила для них $n$ порций питания с курицей и $n$ порций с рыбой. Известно, что пассажир с вероятностью 0,5 предпочитает курицу, и с вероятностью 0,5 — рыбу. Назовём пассажира недовольным, если ему осталось не то, что он предпочитает.
а) Найдите наиболее вероятное число недовольных пассажиров.
б) Найдите математическое ожидание числа недовольных пассажиров.
в) Найдите дисперсию числа недовольных пассажиров.
а) Найдите наиболее вероятное число недовольных пассажиров.
б) Найдите математическое ожидание числа недовольных пассажиров.
в) Найдите дисперсию числа недовольных пассажиров.
Ответ:
Решение:
28 февраля доктор прописал рассеянному Математику пилюли от рассеянности, которые надо принимать один раз в день после обеда. Математик купил две баночки, в каждой по 10 пилюль. Каждый день, начиная с 1 марта, Математик берёт с собой на работу одну из баночек (выбирая её случайным образом), после обеда достаёт из кармана баночку и принимает пилюлю.
а) Найдите вероятность того, что 14 марта Математик первый раз обнаружит, что в кармане лежит пустая баночка.
б) Найдите математическое ожидание числа пилюль, которые Математик принял к тому моменту, как обнаружил, что баночка пуста.
а) Найдите вероятность того, что 14 марта Математик первый раз обнаружит, что в кармане лежит пустая баночка.
б) Найдите математическое ожидание числа пилюль, которые Математик принял к тому моменту, как обнаружил, что баночка пуста.
Ответ:
Решение:
Артиллерийская система ракетного крейсера производит выстрел по цели. Если цель не поражена, система автоматически делает второй выстрел по той же цели. Третий выстрел по этой цели не производится. На борту крейсера 10 ракет. На учениях он выполняет стрельбы по нескольким целям в одинаковых условиях. Вероятность попадания при каждом одном выстреле равна $p$.
а) Если целей всего пять, какова вероятность того, что после стрельбы останется ровно три неиспользованных ракеты?
б) Найдите математическое ожидание числа поражённых целей, если всего целей девять.
а) Если целей всего пять, какова вероятность того, что после стрельбы останется ровно три неиспользованных ракеты?
б) Найдите математическое ожидание числа поражённых целей, если всего целей девять.
Ответ:
Решение:
В классе 25 детей. Для дежурства наугад выбирают двоих. Вероятность того, что оба дежурных окажутся мальчиками, равна $\frac{3}{25}$. Сколько в классе девочек?
Ответ:
Решение:
В классе меньше 30 человек. Вероятность того, что наугад выбранная девочка отличница, равна $\frac{3}{13}$, а вероятность того, что наугад выбранный мальчик отличник, равна $\frac{4}{11}$. Сколько в классе отличников?
Ответ:
Решение:
Три усталых ковбоя зашли в салун, и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой, и поэтому разобрали три шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу.
Ответ:
Решение:
В городе, где живет Рассеянный Ученый, телефонные номера состоят из 7 цифр. Ученый легко запоминает телефонный номер, если этот номер — палиндром, то есть он одинаково читается слева направо и справа налево.
Например, номер $443\,53\,44$ Ученый запоминает легко, потому что этот номер — палиндром. А номер $372\,36\,27$ — не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом.
Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.
Например, номер $443\,53\,44$ Ученый запоминает легко, потому что этот номер — палиндром. А номер $372\,36\,27$ — не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом.
Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.
Ответ:
Решение:
Петя подходит к двери подъезда с кодовым замком, на замке расположены кнопки с цифрами от 0 до 9. Чтобы открыть дверь, нужно одновременно нажать три правильные кнопки. Петя не помнит код и пробует по очереди комбинации. На каждую попытку Петя тратит 2 секунды.
а) Сколько времени понадобится Пете, чтобы наверняка попасть в подъезд?
б) Сколько времени в среднем понадобится Пете?
в) Какова вероятность того, что Петя попадет в подъезд менее чем за одну минуту?
а) Сколько времени понадобится Пете, чтобы наверняка попасть в подъезд?
б) Сколько времени в среднем понадобится Пете?
в) Какова вероятность того, что Петя попадет в подъезд менее чем за одну минуту?
Ответ:
Решение:
Имеется две монеты. Можно ли написать на каждой стороне каждой монеты по одному числу так, чтобы сумма выпавших чисел при бросании этих монет принимала значения 1, 2, 3 и 4 с равными вероятностями 0,25?
Ответ:
Решение:
Три усталых ковбоя зашли в салун и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они не смогли отличить одну шляпу от другой и поэтому разобрали шляпы наугад. Найдите вероятность того, что хотя бы кому-нибудь из ковбоев досталась его же собственная шляпа. При необходимости результат округлите до сотых.
Ответ:
Решение:
Имеется две монеты. Можно ли написать на каждой стороне каждой монеты по одному числу так, чтобы сумма выпавших чисел при бросании этих монет принимала значения 1, 3, 5 и 7 с равными вероятностями 0,25?
Ответ:
Решение:
Имеются карточки с натуральными числами от 1 до 5. Карточки хорошо перемешали и наугад выбирают две штуки. Найдите вероятность того, что на выбранных карточках окажутся два последовательных числа.
Ответ:
Решение:
Поле для игры в крестики-нолики (три на три клетки) случайным образом заполняют шестью крестиками и тремя ноликами. Найдите вероятность того, что все три нолика окажутся «в выигрышной позиции», то есть в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.
Ответ:
Решение:
Петя и Вася одновременно бросают по одной игральной кости. Выигрывает тот, у кого выпало больше очков. Если выпало поровну — наступает ничья. Какова вероятность того, что Петя выиграет?
Ответ:
Решение:
Лёня и Коля одновременно бросают по одной игральной кости. Выигрывает тот, у кого выпало больше очков. Если выпало поровну — наступает ничья. Какова вероятность того, что Лёня не выиграет?
Ответ:
Решение:
Василий Петров выполняет задание по английскому языку. В этом задании есть 10 английских выражений и их переводы на русский в случайном порядке. Нужно установить верные соответствия между выражениями и их переводами. За каждое правильно установленное соответствие даётся 1 балл. Таким образом, можно получить от 0 до 10 баллов. Вася ничего не знает, поэтому выбирает варианты наугад. Найдите вероятность того, что он получит ровно 9 баллов.
Ответ:
Решение: