Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11.
Ответ:
Решение:
В круг радиуса $R$ наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка попала внутрь квадрата, вписанного в этот круг?
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные прямоугольники, вписанные в полуокружность радиуса $R=5$ так, что две вершины прямоугольника лежат на её диаметре, а две другие — на дуге полуокружности. Найти вероятность того, что площадь такого прямоугольника окажется больше чем 24.
Ответ:
Решение:
Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 15 см на 20 см круглую кляксу радиусом 2 см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.
Ответ:
Решение:
На окружности совершенно случайно взяты три точки $A$, $B$ и $C$. Найти вероятность того, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ со стороной 4 расположена точка $O$, отстоящая от сторон $AD$ и $CD$ на расстояние 1. Через точку $O$ совершенно случайно проведена прямая $L$, разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что одна из частей будет иметь площадь, не превосходящую 3.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не больше половины площади треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $DA$ и $DB$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь боковой поверхности пирамиды $MNCD$ с вершиной в точке $D$ составляет не более половины площади боковой поверхности пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Точки $P$, $Q$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ так, что $AP:PB=2:1$, $AQ:QC=1:3$. Точка $M$ выбрана на стороне $BC$ совершенно случайно. Найти вероятность того, что площадь треугольника $ABC$ превосходит площадь треугольника $PQM$ не более, чем в три раза. Найти математическое ожидание случайной величины — отношения площадей треугольников $PQM$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
На часах две стрелки: часовая и минутная. В случайный момент времени часы остановились. Найдите вероятность того, что угол между стрелками на остановившихся часах острый.
Ответ:
Решение:
Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги $ABCD$. Митя называет сгиб красивым, если сторона $AB$ пересекает сторону $CD$ и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны.
Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F$. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F$.
Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F$. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F$.
Ответ:
Решение:
На стене висит мишень, состоящая из пяти зон: центральный круг (яблочко) и четыре разноцветных кольца (см. рисунок). Ширина каждого кольца равна радиусу яблочка. Известно, что число очков за попадание в каждую зону обратно пропорционально вероятности попасть в эту зону и что яблочко стоит 315 очков. Сколько очков стоит попадание в синюю (предпоследнюю) зону?
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ выбирают случайную точку $M$. Какова вероятность, что площадь одного из треугольников $ABM$, $BCM$ и $CAM$ окажется больше суммы площадей двух других?
Ответ:
Решение:
У Рассеянного Ученого было число 1. При помощи генератора случайных чисел независимо друг от друга Ученый выбирает еще два случайных действительных числа из отрезка $[0;\,3]$. Какова вероятность того, что можно будет построить треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Ученого числам?
Ответ:
Решение:
Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя — красная. В квадрате случайным образом выбирается точка $F$. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку $F$. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника.
Ответ:
Решение:
В бумажном квадрате случайным образом выбирается точка $O$. Затем квадрат сгибают так, чтобы каждая вершина наложилась на точку $O$. На рисунке показана одна из возможных схем складывания.
Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника.
Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $40^\circ$. Треугольник случайным образом бросают на стол. Найдите вероятность того, что вершина $A$ окажется восточнее двух других вершин.
Ответ:
Решение:
В квадрате с вершиной $A$ выбирается случайная точка $B$ и закрашивается прямоугольник с диагональю $AB$, две стороны которого лежат на сторонах квадрата. Рассмотрим событие $G$ «площадь закрашенного прямоугольника меньше половины площади квадрата». Докажите, что $$0{,}828\lt \mathrm{P}(G)\lt 0{,}875.$$
Ответ:
Решение:
В абсолютно случайную точку абсолютно квадратного леса $10\times 10$ км на парашюте спускается шпион с радиопередатчиком. Приземлившись, он немедленно начинает радиопередачу, сообщая противнику важные сведения.
Во всех четырёх углах леса расположены радиопеленгаторы, каждый из которых обнаруживает работу передатчика на расстоянии не более 10 км. Чтобы контрразведка точно определила координаты работающего передатчика, нужно, чтобы передатчик был обнаружен хотя бы двумя пеленгаторами.
Шпиону повезло: один из радиопеленгаторов сегодня не работает. Какова вероятность того, что контрразведчики не смогут определить координаты места, где приземлился шпион?
Во всех четырёх углах леса расположены радиопеленгаторы, каждый из которых обнаруживает работу передатчика на расстоянии не более 10 км. Чтобы контрразведка точно определила координаты работающего передатчика, нужно, чтобы передатчик был обнаружен хотя бы двумя пеленгаторами.
Шпиону повезло: один из радиопеленгаторов сегодня не работает. Какова вероятность того, что контрразведчики не смогут определить координаты места, где приземлился шпион?
Ответ:
Решение:
На окружности случайно и независимо друг от друга выбирают три точки. Какова вероятность того, что у треугольника с вершинами в этих точках все углы окажутся меньше чем $120^\circ$?
Ответ:
Решение: