Про действительные ненулевые числа $a$, $b$, $c$ известно, что \[a^2-bc=b^2-ac=c^2-ab.\]
1. Какие положительные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать положительные значения, то в качестве ответа напишите 0.
2. Какие отрицательные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать отрицательные значения, то в качестве ответа напишите 0.
1. Какие положительные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать положительные значения, то в качестве ответа напишите 0.
2. Какие отрицательные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать отрицательные значения, то в качестве ответа напишите 0.
Ответ:
Решение:
Дан набор чисел $\{-1,-2,-3,\ldots,-26\}$. На доску выписали всевозможные подмножества данного набора, в которых есть хотя бы 2 числа. Для каждого выписанного подмножества вычислили произведение всех чисел, принадлежащих данному подмножеству. Чему равна сумма всех этих произведений?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы $2\times2$ вписано по одному числу. Все числа различны,
- сумма чисел в первой строке равна сумме чисел во второй строке,
- а произведение чисел в первом столбце равно произведению чисел во втором столбце.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие попарно различные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2bx+c^2$, число $b$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2cx+a^2$, а число $c$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2ax+b^2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что $a^2+b=b^2+c=c^2+a$. Какие значения может принимать выражение \[a(a^2-b^2)+b(b^2-c^2)+c(c^2-a^2)\,?\]
Ответ:
Решение:
Четыре числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что верна пропорция \[\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c+d}\quad\text{и}\quad ad=60.\] Найдите произведение всех четырех чисел.
Ответ:
Решение:
Если длину прямоугольного поля увеличить на 20 м, а ширину увеличить на 8 м, то его площадь увеличится на 9280 м$^2$. На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 20 м, а ширину уменьшить на 8 м? Ответ выразите в квадратных метрах.
Ответ:
Решение:
Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что \[(3a+2b)(3b+2a)=295.\] Найдите $a+b$.
Ответ:
Решение:
Подберите такие не равные нулю числа $n$ и $m$, чтобы равенство \[ (n\cdot5^n)^n=m\cdot5^9 \] было верным.
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ таковы, что \[x+y+z+t=0.\] Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10 000, может принимать число \[(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)?\]
Ответ:
Решение:
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?
Ответ:
Решение:
Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ можно найти сумму \[ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de,\] затратив не более 10 кВт/ч.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $a$ и $b$, удовлетворяющие условию \[a^3+ab-b^3=(a+b)^2.\] Чему может быть равна разность $a-b$?
Ответ:
Решение:
Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна 0. Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности.
Ответ:
Решение:
Про три действительных числа $p$, $q$ и $r$ известно, что \[ p+q+r=5, \qquad \frac{1}{p+q}+\frac{1}{q+r}+\frac{1}{p+r}=9. \] Чему равняется выражение \[ \frac{r}{p+q}+\frac{p}{q+r}+\frac{q}{p+r}? \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \dfrac{x^2-xy+4x-5y-5}{x^2-4y^2}\cdot\dfrac{x^3-2x^2y-5x^2+10xy+25x-50y}{x^3+125} \] при $x=5{,}4$ и $y=2{,}3$.
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ \frac{a}{b+c-5a}=\frac{b}{a+c-5b}=\frac{c}{a+b-5c}. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2c}{a}+\dfrac{5a}{b}+\dfrac{5c}{b}$?
Ответ:
Решение: