Найти действительные решения системы уравнений \[ \begin{cases} x^2-4x-2y-1=0,\\ y^2-2x+6y+14=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите в действительных числах систему уравнений \[ \begin{cases} x+y+2-4xy=0,\\ y+z+2-4yz=0,\\ z+x+2-4zx=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \dfrac{xy}{x+y}=1,\\[2mm] \dfrac{yz}{y+z}=2,\\[2mm] \dfrac{xz}{x+z}=3. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют системе уравнений \[\begin{cases} xy=3z+z^2,\\ yz=3x+x^2,\\ zx=3y+y^2.\end{cases}\] Найдите все возможные значения выражения $(x+3)^2+(y+3)^2+(z+3)^2$, если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 3x-y-3xy=-1,\\ 9x^2y^2+9x^2+y^2-6xy=13. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Петя задумал пять чисел. На доске он написал их попарные суммы: $7$, $9$, $12$, $16$, $17$, $19$, $20$, $21$, $22$, $29$. Какие числа задумал Петя?
Ответ:
Решение:
Найти $a$, $b$ и $c$, для которых $ar_n+br_{n+1}+cr_{n+2}=6$ для всех натуральных $n$, где $r_k$ — остаток от деления $k$ на $3$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(x^3+x^2+x+1\right)\left(x^{11}+x^{10}+\ldots+x+1\right)=\left(x^7+x^6+\ldots+x+1\right)^2. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество общих точек графиков функций \[y=x^3+6x\quad\text{и}\quad y=12x^2+1,\] а также абсциссы этих точек.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(1+x+x^2\right)\left(1+x+x^2+\ldots+x^{10}\right)=\left(1+x+x^2+\ldots+x^6\right)^2. \]
Ответ:
Решение:
Дано действительное число $t$, отличное от $0$, $1$, $-1$, $\frac{1}{2}$ и $2$. Решите уравнение\[\frac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2}=\frac{(t^2-t+1)^3}{t^2(t-1)^2}.\]Ответ может зависеть от $t$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике длины катетов равны $|2x-2|$ и $|x^2+3x|$, а длина гипотенузы равна $|3x+1|$. Найдите $x$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x+3\right)\left(x^2+3x+4\right)\left(x^2+3x+5\right)=15. \]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}2xy^2+8zx^2-4yz^2=6xyz,\\ 8xz^2-4yx^2+2zy^2=6xyz,\\ 2xy-4xz+2yz=3.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2x^2=yz+2x,\\ 2y^2=xz+2y,\\ 2z^2=xy+2z. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти действительные решения системы уравнений \[\begin{cases} 2y^2=x^4+x,\\ y=\dfrac{2x}{y}-5x^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение: