У Васи Пупкина кончились деньги, и он нанялся на работу. По договору он работал без выходных и за каждый день работы он получал по 100 грошей. Получаемые деньги Вася начал тратить. В первый день работы он потратил 1 грош, а в каждый следующий день тратил на 1 грош больше, чем в предыдущий. К концу какого дня работы Вася снова оказался без денег? (Вася ежедневно получал 100 грошей в конце работы, а тратил деньги после работы.)
Ответ:
Решение:
Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит $2n$ членов. Известно, что разность суммы последних $n$ и суммы первых $n$ членов равна 450. Укажите все возможные значения $n$, если известно, что $n\gt 1$.
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a_1, a_2, \ldots, a_{90}$ образуют арифметическую прогрессию. Чему равно \[a_2+a_5+a_8+\ldots+a_{89},\] если $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{90}=3000$?
Ответ:
Решение:
В ряду чисел \[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ \ldots,\ 201,\ 201,\ \ldots,\ 201 \] каждое число $n$ встречается ровно $n$ раз для всех $1\leqslant n\leqslant201$. Выберем в этом ряду такое число, слева и справа от которого чисел поровну. Определите это число.
Ответ:
Решение:
Аня расставляет камешки на песке. Сначала она поставила один камень, потом добавила камешки, чтобы получился пятиугольник, затем сделала из камешков внешний большой пятиугольник, после этого ещё один внешний пятиугольник и т. д., как на рисунке. Количество камней, которые у неё были расставлены на первых четырёх картинках: 1, 5, 12 и 22. Если продолжать составлять такие картинки дальше, то сколько камней будет на 10-й картинке?
Ответ:
Решение:
Числа $\frac{1}{a+b}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{b+c}$ образуют арифметическую прогрессию. Верно ли, что числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ также образуют арифметическую прогрессию?
Ответ:
Решение:
Дана арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ такая, что \[\begin{aligned} a_1+a_2&=9,\\ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_8&=108.\end{aligned}\] Найдите $a_1$ и разность этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Мише каждый день дают 100 рублей на карманные расходы. В первый день он потратил 10 рублей, во второй хочет потратить 20 рублей, в третий — 30 рублей и так далее каждый следующий день он тратит на 10 рублей больше, чем в предыдущий. На какой по счету день Мише не хватит денег на задуманную покупку? Неизрасходованные за день деньги остаются у Миши, изначально денег у него не было.
Ответ:
Решение:
Девять действительных $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_9$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что $a_9$ в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите $a_1$, если известно, что $a_4=6$.
Ответ:
Решение:
У Юры есть $n$ карточек, на которых написаны числа от 1 до $n$. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке?
Ответ:
Решение:
Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых её 10 членов равна 60, а сумма первых 20 её членов равна 320. Чему может быть равен 15-й член этой прогрессии?
Ответ:
Решение:
Арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ с ненулевой разностью такова, что последовательность $b_n=a_n\cdot\sin a_n$ также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии $\{a_n\}$, если для всех $n$ справедливо равенство $2\cos^2 a_n=\cos a_{n+1}$.
Ответ:
Решение:
Среди первых ста членов арифметической прогрессии с положительной разностью есть числа $\dfrac{13}{6}$, $\dfrac{75}{2}$ и $\dfrac{389}{6}$. Найти разность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Известно, что арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, разность прогрессии равна 7 и сумма первых нескольких членов прогрессии равна 2744. Найдите все возможные значения первого члена прогрессии. В ответ запишите их сумму.
Ответ:
Решение:
Числа $\frac{1}{17}$, $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{13}$ являются членами арифметической прогрессии с возрастающими номерами. Каково наибольшее значение разности этой прогрессии?
Ответ:
Решение:
Заемщик и кредитор договорились, что беспроцентный кредит в $615$ т. р. будет выплачиваться ежемесячно в последний день месяца. В первый месяц возвращается некоторая сумма (целое число т. р.), а в каждый последующий месяц возвращается сумма на $1$ т. р. большая, чем в предыдущем месяце. На какое максимальное число месяцев мог быть выдан такой кредит и какую сумму при этом выплатил заемщик в первый месяц?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее число членов конечной арифметической прогрессии с разностью 4, при условии, что квадрат её первого члена в сумме с остальными членами не превосходит 100.
Ответ:
Решение:
Пусть $S_n$ — сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$. Известно, что \[ S_{n+1}=2n^2-21n-23. \]
1. Укажите формулу $n$-го члена этой прогрессии.
2. Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
3. Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа
1. Укажите формулу $n$-го члена этой прогрессии.
2. Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
3. Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа
Ответ:
Решение:
Сумма первых трёх членов арифметической прогрессии, а также сумма первых шести её членов — натуральные числа. Кроме того, её первый член $d_1$ удовлетворяет неравенству $d_1\geqslant\dfrac{1}{2}$. Какое наименьшее значение может принимать $d_1$?
Ответ:
Решение:
Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет $50\%$ от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как $5:4$. Найдите количество членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение: