Множество $A$ состоит из натуральных чисел $n$, делящихся на $[\sqrt[3]{n}]$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превышающее $x$. Найдите количество чисел из отрезка $[25,2025]$, принадлежащих множеству $A$.
Ответ:
Решение:
Найдите все действительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\sqrt{3}$ и $x^2+\sqrt{3}$ — рациональные.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+\left[\frac{4x}{3}\right]$ на отрезке $x\in[0;75]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные значения $n$, удовлетворяющие уравнению \[ 2002\left[n\sqrt{1001^2+1}\right]=n\left[2002\sqrt{1001^2+1}\right], \] где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее числа $x$.
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\text{Окр}(x)$ результат округления числа до ближайшего целого по стандартным математическим правилам, например, \[ \text{Окр}(3{,}14)=3,\quad \text{Окр}(2{,}71)=3,\quad \text{Окр}(4{,}5)=5. \] Задана последовательность чисел \[ a_n=n+\text{Окр}(\sqrt n),\quad n=1,2,\ldots \] Существует ли в этой последовательности участок, состоящий из $2026$ последовательных натуральных чисел?
Если такого участка нет, в ответе укажите $0$. Если такой участок существует, в ответе укажите наименьшее значение $k$, для которого $a_k, a_{k+1}, \ldots, a_{k+2025}$ являются последовательными натуральными числами.
Если такого участка нет, в ответе укажите $0$. Если такой участок существует, в ответе укажите наименьшее значение $k$, для которого $a_k, a_{k+1}, \ldots, a_{k+2025}$ являются последовательными натуральными числами.
Ответ:
Решение:
Рациональные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что все числа $x+y^2+z^2$, $x^2+y+z^2$ и $x^2+y^2+z$ целые. Верно ли, что число $2x$ целое?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых натуральных $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ таких, что \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_k}\gt 1,\] у уравнения \[\left[\frac{n}{a_1}\right]+\left[\frac{n}{a_2}\right]+\ldots+\left[\frac{n}{a_k}\right]=n\] не больше чем $a_1a_2\ldots a_k$ решений в натуральных числах. ($[x]$ — целая часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно $2$.
Ответ:
Решение:
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?
Ответ:
Решение:
Назовём хорошей пару $(a,b)$ натуральных чисел, лежащих на отрезке $[100;240]$, если число $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ является целым. Сколько существует хороших пар?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар различных натуральных чисел $a,b$ таких, что $1\leqslant a\lt b\leqslant100$ и \[\bigl\lfloor\sqrt{a}\bigr\rfloor+\bigl\lceil\sqrt{b}\bigr\rceil=\bigl\lceil\sqrt{a}\bigr\rceil+\bigl\lfloor\sqrt{b}\bigr\rfloor.\] Напомним, что $\lfloor x\rfloor$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $x$, а $\lceil x\rceil$ — наименьшее целое число, большее или равное $x$.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. Какая цифра стоит сразу после запятой в десятичной записи числа $\sqrt{n^2+n}$?
Ответ:
Решение:
Различные натуральные числа $n$ и $k$ таковы, что \[k\lt n\lt 2k\lt 3n\lt 4k\lt 5n\lt \ldots\lt 48k\lt 49n\lt 50k.\] Какое наименьшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$, не имеющий корней, таков, что коэффициент $b$ рационален, а среди чисел $c$ и $f(c)$ ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трёхчлена $f(x)$ быть рациональным?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $a$ на числовом интервале $(a,3a)$ находится ровно 50 точных квадратов?
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_{2024}$ — возрастающая последовательность натуральных чисел. При $i=1, 2, \ldots, 2024$ обозначим \[ p_i=\left(x_1-\dfrac{1}{x_1}\right)\left(x_2-\dfrac{1}{x_2}\right)\ldots\left(x_i-\dfrac{1}{x_i}\right). \] Какое наибольшее количество натуральных чисел может содержаться среди чисел $p_1$, $p_2$, …, $p_{2024}$?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $m$ привлекательным, если равенство \[\left\lfloor\dfrac{2024}{n}\right\rfloor=m\] не выполняется ни для какого натурального $n$. Напомним, что $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$.
1. Найдите наименьшее привлекательное число.
2. Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
1. Найдите наименьшее привлекательное число.
2. Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
Ответ:
Решение:
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$), при которых $a+b$ лежит в $A$, число $ab$ также лежит в $A$. Найдите все полные множества натуральных чисел.
Ответ:
Решение: