По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом $k$ стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число $k$?
Ответ:
Решение:
На сколько нулей оканчивается число \[ \Bigl(1\underbrace{00\ldots0}_{2017}1\Bigr)^{2017}-1\,? \]
Ответ:
Решение:
Написаны 2017 чисел. Известно, что сумма квадратов любых 7 из них равна 7, сумма любых 11 из них положительна, а сумма всех 2017 чисел делится на 9. Найдите эти числа.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $N$ такое, что десятичная запись числа $999N$ состоит из одних семёрок.
Ответ:
Решение:
Заданы 2014 натуральных чисел. Если выбрать из них любые 100 чисел, то среди них окажется хотя бы одно чётное число. Если выбрать из них любые 1916 чисел, то среди них окажется хотя бы одно нечётное число. Может ли сумма всех этих чисел равняться $2014\cdot2013$? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Доказать, что сумма $1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac{1}{346}$ представляет собой дробь, числитель которой делится на $347$.
Ответ:
Решение:
Длины ребер $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b_1$, $b_2$, $b_3$ прямоугольных параллелепипедов $P_A$ и $P_B$ — целые числа. Если в параллелепипеде $P_A$ увеличить на $1$ длину одного из ребер $a_1$, $a_2$ или $a_3$, то отношение объемов $V_A:V_B$ изменится на $3$, $5$ или на $7$ единиц соответственно. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение отношения объемов $V_A:V_B$.
Ответ:
Решение:
В тетради написаны $n$ целых чисел, упорядоченных по убыванию $a_1\gt a_2\gt \ldots\gt a_n$ и имеющих сумму $120$. Известно, что $k$-ое по порядку написанное число $a_k$, кроме последнего, полученного при $k=n$, в $(k+1)$ раз меньше суммы всех остальных написанных чисел. Найти максимальное число $n$, возможное при этих условиях. Найти эти числа для максимально возможного $n$.
Ответ:
Решение:
Мастер работал с плиткой в форме прямоугольника $a\times b$, длины сторон которого $a$ и $b$ — целые числа, причем $1\lt \dfrac{b}{a}\lt 2$. Ему удалось, не разрезая плиток, уложить ею две прямоугольные стены размерами $70\times66$ и $102\times39$. Найти $a$ и $b$. Сколько плиток при этом было использовано?
Ответ:
Решение:
Доказать, что выражение $2\cdot6^n-25n^2+15n-2$ делится без остатка на $125$ при любом натуральном $n\gt 1$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписан правильный $24000$-угольник $A_1A_2\ldots A_{24000}$. Вася начинает движение из точки $A_1$ и обходит окружность в направлении увеличения номеров вершин несколько раз. В процессе обхода он вычёркивает эти вершины: во время первого обхода вычёркиваются все $A_k$ с чётными номерами, во время второго — все те из оставшихся, номера которых делятся на три, на третий обход вычёркиваются те вершины, номера которых делятся на три, на третий обход вычёркиваются те вершины, номера которых делятся на четыре и так далее. Найдите номер вершины, которую Вася вычеркнет $16003$-ей.
Ответ:
Решение:
На доске написано число $987\,656\,789$. Вася заменил в нём какие-то $4$ цифры так, что получилось минимально возможное девятизначное число, делящееся на $275$. Найдите это число.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $y_n=n(n+1)$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $k$ и $l$ ($l\lt 125\lt k$) делится на $3^{11}$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $l+k$.
Ответ:
Решение:
Дано число $5300\ldots0035$ (100 нулей). Требуется заменить некоторые два нуля на ненулевые цифры так, чтобы после замены получилось число, делящееся на 495. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на $20$, а если первую — то на $21$. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна $0$?
Ответ:
Решение:
Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
Ответ:
Решение:
Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на $2$, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на $3$ — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, $\ldots$, делится на $9$, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, кратное $80$, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно $80$.
Ответ:
Решение:
Существует ли арифметическая прогрессия из $2011$ натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на $8$, меньше, чем количество чисел, делящихся на $9$, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на $10$?
Ответ:
Решение: