Существует ли арифметическая прогрессия из $2011$ натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на $8$, меньше, чем количество чисел, делящихся на $9$, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на $10$?
Ответ:
Решение:
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год — замечательный, поскольку 2025 делится на $20+25=45$. Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с 2001 по 2100 год включительно)?
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\overline{abc}$ трехзначные числа, записанные цифрами $a$, $b$, $c$. Сколько существует трехзначных чисел, таких, что разность $\overline{abc}-\overline{acb}$ делится на $72$ без остатка?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сколько существует пятизначных чисел вида $\overline{ab16c}$, кратных 16? ($a$, $b$, $c$ — произвольные цифры, не обязательно разные.)
Ответ:
Решение:
В десятичной записи натурального числа, состоящей только из цифр 4 и 5, количество цифр 5 нечётно и на 17 больше количества цифр 4. Найдите все возможные остатки от деления этого числа на 9.
Ответ:
Решение:
На доске было написано 21 последовательное натуральное число. Когда одно из чисел стёрли, сумма оставшихся стала равна 2017. Какое число стёрли?
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее целое трехзначное число $n$, для которого число $15n^2+13n+2$ делится на $49$.
Ответ:
Решение:
Миша выписал на доску $7$ подряд идущих натуральных чисел и сложил их. Оказалось, что эта сумма заканчивается на $1230123$. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных на доске?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На доске написано число $23\,456\,789$. Петя заменил в нём $5$ цифр: $4$ последние цифры и ещё какую-то. В итоге получилось восьмизначное число, делящееся на $48$, притом минимально возможное. Что это за число?
Ответ:
Решение:
На $23$ карточках записаны цифры. Из этих карточек сначала сложили $23$-значное число $A$, а затем, переложив карточки в другом порядке — $23$-значное число $B$. Оказалось, что разность $(A-B)$ — это $22$-значное число, составленное из одинаковых цифр. На какую цифру оканчивается число $B$, если число $A$ оканчивается на цифру $5$?
Ответ:
Решение:
Какую наименьшую сумму могут иметь $11$ последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $20\,222\,023$?
Ответ:
Решение:
Вася строит башни из кубиков. Когда он построил $N$ башен по 22 кубика, у него осталось 3 кубика. После чего он из всех своих кубиков построил $N-1$ башню так, что во всех башнях кубиков оказалось поровну. Какое наибольшее количество кубиков могло быть у Васи, если известно, что их меньше 300?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $a$ такое, что выражение $a(a+12)(a+24)(a+36)(a+48)$ делится на $10^6$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $a$ такое, что выражение $a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)$ делится на $10^7$.
Ответ:
Решение:
Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $1234567$?
Ответ:
Решение: