$20$ школьников записываются на кружки по физике, математике и информатике. Каждый школьник может записаться на любое количество из этих трёх кружков, но обязан выбрать хотя бы один из них. Известно, что на информатику записались $13$ школьников, на физику — $10$ школьников, а $9$ человек записались на математику. Оказалось, что ровно $9$ человек записались не менее чем на $2$ кружка сразу. Найдите количество учеников, выбравших все три кружка.
Ответ:
Решение:
Футбольный мяч шьётся из 32 кусочков кожи: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный кусочек граничит только с белыми кусочками, каждый белый кусочек граничит с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько чёрных кусочков нужно для изготовления мяча?
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел, кратных $3$, не кратных $5$ и принадлежащих отрезку $[1200;2020]$.
Ответ:
Решение:
На доске выписали в порядке возрастания все натуральные числа от $1$ до $10000$, а потом стёрли те, которые не делятся ни на $4$, ни на $15$. Какое число оказалось на $2017$-м месте?
Ответ:
Решение:
В большую коробку положили $10$ коробок поменьше. В некоторые из них положили $10$ коробок ещё поменьше. В некоторые из этих последних коробок положили $10$ коробок ещё меньшего размера и так далее. В результате оказалось, что имеется ровно $2000$ коробок, в которых что-то лежит. Какое наибольшее число коробок могут при этом быть пустыми?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов переставить местами буквы $abcabe$ так, чтобы никакие две одинаковые буквы не стояли рядом?
Ответ:
Решение:
Дано множество чисел $M=\{2024, 2025, \ldots, 2031\}$. Для каждого непустого подмножества множества $M$ (включая само множество $M$) вычислили сумму чисел, входящих в это подмножество, а затем все эти суммы сложили, получив число $S$. На какое двузначное число заканчивается $S$?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар таких натуральных чисел $a$ и $b$, что $a$ — трёхзначное, $b$ — четырёхзначное, а их произведение делится на $35$.
Ответ:
Решение:
В летнем лагере в первую смену отдыхали $57$ школьников. За время отдыха $27$ ребят читали книги, $25$ ловили рыбу, $26$ собирали грибы, при этом каждый школьник принял участие хотя бы в одном из этих дел. Известно, что $9$ из читающих ребят собирали грибы, $8$ грибников успели сходить на рыбалку. Сколько ребят читали книги, ходили на рыбалку, но не собирали грибы? Какое максимальное число ребят могли, при этих условиях, собирать грибы, но не читать книг и не ловить рыбу.
Ответ:
Решение:
Класс разделили на две команды «Знайки» и «Незнайки» и стали играть в игру «Вопросы и ответы». Правила игры простые: каждый игрок команды должен уметь задать по выбранной теме вопрос любому игроку другой команды и дать ответ на вопрос противника к нему адресованный. Учитель оценивает качество вопросов и ответов. В результате игры каждый член команды «Знайки» принял участие в игре ровно три раза (в форме вопроса или ответа), а каждый игрок команды «Незнайки» только два. Сколько учеников в классе, если на обед ходили $21$ ученик, а парт в классе $14$? (за партой могут сидеть не более двух учеников)
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел, не превышающих 2022 и не входящих ни в арифметическую прогрессию $1, 3, 5, \ldots$, ни в арифметическую прогрессию $1, 4, 7, \ldots$
Ответ:
Решение:
Уходя на работу, мама поручила Мише, Пете и Васе: а) подмести пол в прихожей; б) помыть посуду; в) купить хлеба; г) заплатить за электричество; д) вынести мусор; е) пропылесосить ковёр в гостиной. Сколькими различными способами они могут распределить задания так, чтобы каждое задание делал кто-то один из ребят и при условии, чтобы каждый что-нибудь делал?
Ответ:
Решение:
Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $12, 13, 14, 15, 16, 17, \ldots$, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $16=4^2$, $25=5^2$, $27=3^3$, $\ldots$)?
Ответ:
Решение:
Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $6, 7, 8, 9, 10, \ldots$, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $8=2^3$, $9=3^2$, $16=4^2$, $\ldots$)?
Ответ:
Решение:
На кухне лежит пакет с пакетами. Каждый из пакетов либо пустой (не содержит других пакетов), либо содержит ровно $5$ пакетов (в некоторых из них могут быть другие пакеты). Определите, сколько всего пакетов, если известно, что $101$ пакет пустой.
Ответ:
Решение:
$A$ — множество чисел, делящихся на 3; $B$ — множество чисел, дающих при делении на 4 остаток 1. $C$ — множество простых чисел. На отрезке $[100;200]$ найдите количество чисел, принадлежащих множеству.
Ответ:
Решение:
Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами выпуклых четырёхугольников, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон.
Ответ:
Решение:
На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;59)$, $(59;59)$ и $(59;0)$. Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одной из прямых $y=x$ или $y=59-x$, но оба выбранных узла не лежали ни на какой прямой, параллельной любой из координатных осей.
Ответ:
Решение:
$5$ сундуков закрыты на $3$ замка каждый, все ключи ко всем замкам различны. Найдите количество способов выбрать из всех $15$ ключей $6$ так, чтобы с помощью них можно было открыть хотя бы один сундук.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар таких натуральных чисел $a$ и $b$, что $a$ — трёхзначное, $b$ — четырёхзначное, в своей записи они не содержат нулевых цифр, а их произведение делится на $15$.
Ответ:
Решение: