Построить график функции: $\displaystyle y=f(x)=\left|\frac{|x|-1}{x-1}\right|$. Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$ имеет один или два корня.
Ответ:
Решение:
Построить график функции: $\displaystyle y=f(x)=|x^2-2|x|-3|$. Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$ имеет не менее пяти корней.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $\displaystyle y=f(x)=\frac{x^3+8x^2+19x+12}{x+4}$. Найти значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет ровно одну общую точку с графиком данной функции.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $\displaystyle y=f(x)=\frac{-2x^3+x^2+7x-6}{x^2+x-2}$. Найти значения параметра $k$, при каждом из которых прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком данной функции.
Ответ:
Решение:
Построить график функции
$$y=f(x)=\left\{\begin{aligned}
&3x+18, x\leqslant-5; \\
&(x+3)^2-1, -5 < x \leqslant -2; \\
&-\frac{x+2}{2}, x\geqslant -2.
\end{aligned}\right.$$
Ответ:
Решение:
Построить график функции $\displaystyle y=f(x)=\frac{2x^3+5x^2-2x-5}{x^2-1}$. Найти все значения параметра $k$, при каждом из которых прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком функции $y=f(x)$.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $y=f(x)=|x+2|(x-2)$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет ровно три общие точки с графиком функции $y=f(x)$.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $$y=f(x)=\frac{\left(\sqrt{x^3-5x^2+6x}\right)^2}{x-2}.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=5x+a$ имеет ровно одну общую точку с данным графиком.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Построить график функции $\displaystyle y=\left|\cos\left(\frac{\pi}{2}\left(|x|-\frac12\right)\right)\right|$
Ответ:
Решение:
Про функцию $f(x)$ и некоторое положительное число $c$ известно, что \[ f(x+c)=\dfrac{\sqrt3 f(x)+1}{\sqrt3-f(x)} \] при всех значениях $x$. При каком наименьшем целом значении $k$ из интервала $(25;50)$ можно утверждать, что $f(x+kc)=f(x)$ при всех $x$?
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ удовлетворяет при каждом значении $x$ равенству\[f(x+2)=f(x)+4x+4.\]Найдите $f(2012)$, если $f(2)=0$.
Ответ:
Решение:
Найдите все возможные значения величины \[ T=\frac{f(t)-f(0)}{f(t^2)+f(t)-2f(0)+2}, \] если $f(2x+y)-f(x+y)=2x$ для всех действительных значений $x$ и $y$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ определена и положительна при всех $x\gt 0$. Известно, что $f(1)+f(2)=20$ и $f(a+b)=f(a)+f(b)+2\sqrt{f(a)f(b)}$ при всех $a,b\gt 0$. Найдите $f(2020)$.
Ответ:
Решение:
Найдите $f(2024)$, если \[ f(x)=|2x-1|-|2x-3|+6 \] при $x\in[0;2]$ и, кроме того, при всех целых значениях $x$ \[ \begin{cases} f(x+3)\leqslant f(x)+6,\\ f(x+2)\geqslant f(x)+4. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Функция $f$ такова, что $f(2x-3y)-f(x+y)=-2x+8y$ для всех $x$, $y$. Найдите все возможные значения выражения $\dfrac{f(5t)-f(t)}{f(4t)-f(3t)}$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет равенству \[ f(x+3)=x+2-f(x), \] а при $x\in[-3;0)$ задаётся формулой $f(x)=x^2$. Найдите $f(2012)$.
Ответ:
Решение:
Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство $f(x+1)=f(x+1)f(x)+1$?
Ответ:
Решение: