На доске записаны 7 различных нечётных чисел. Таня подсчитала их среднее арифметическое, а Даня упорядочил эти числа по возрастанию и выбрал из них число, оказавшееся посередине. Если из Таниного числа вычесть Данино, то получится число $3/7$. Не ошибся ли кто-нибудь из них?
Ответ:
Решение:
Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2015, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников. Верно ли, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4?
Ответ:
Решение:
Четыре блохи играют в чехарду на большом листе клетчатой бумаги. Каждую секунду одна из блох перепрыгивает через какую-то другую и, летя над той же прямой, пролетает расстояние, вдвое большее, чем было между блохами до прыжка. Сейчас блохи сидят в четырёх вершинах одной клетки. Могут ли все четыре блохи через некоторое время оказаться на одной прямой?
Ответ:
Решение:
На доске записано число 2018. Игорь дописывает в конец этого числа такую цифру, чтобы получившееся число было кратно 11, и делит его на 11. Затем он дописывает подходящую цифру в конец полученного частного и делит его на 11, и так далее. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 200 в произвольном порядке расставили на окружности так, что расстояния между рядом стоящими на окружности числами одинаковы.
Для любого числа верно следующее: если рассмотреть 99 чисел, стоящих от него по часовой стрелке, и 99 чисел, стоящих от него против часовой стрелки, то в обеих группах будет поровну чисел, которые меньше его. Какое число стоит напротив числа 113?
Для любого числа верно следующее: если рассмотреть 99 чисел, стоящих от него по часовой стрелке, и 99 чисел, стоящих от него против часовой стрелки, то в обеих группах будет поровну чисел, которые меньше его. Какое число стоит напротив числа 113?
Ответ:
Решение:
Можно ли число 2023 представить в виде суммы трех натуральных чисел $a$, $b$, $c$ таких, что $a$ делится на $b+c$ и $b+c$ делится на $b-c+1$?
Ответ:
Решение:
Набор из 28 различных доминошек выглядит так:
Все эти 28 доминошек выложили так, что количество точек на соприкасающихся половинках доминошек одинаково. На некоторых половинках полностью стёрли количество точек. В итоге получилась конструкция, изображённая на рисунке ниже (пустые половинки могли быть изначально пустыми, а могли содержать какое-то количество точек).
Сколько точек на каждой из половинок жёлтой костяшки?
Точек на половинке $A$: ….
Точек на половинке $B$: ….
Все эти 28 доминошек выложили так, что количество точек на соприкасающихся половинках доминошек одинаково. На некоторых половинках полностью стёрли количество точек. В итоге получилась конструкция, изображённая на рисунке ниже (пустые половинки могли быть изначально пустыми, а могли содержать какое-то количество точек).
Сколько точек на каждой из половинок жёлтой костяшки?
Точек на половинке $A$: ….
Точек на половинке $B$: ….
Ответ:
Решение:
У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры четырёх цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из квадратов в четыре разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу: склеивать можно только края одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника каждая сторона должна быть полностью одного цвета и все его стороны должны быть разных цветов.
Прямоугольник какого размера она сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты.
Прямоугольник какого размера она сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты.
- $2025\times 2025$,
- $2025\times 2027$,
- $2026\times 2026$,
- $2027\times 2027$,
- $2026\times 2027$,
- $2025\times 2026$.
Ответ:
Решение:
На доске написано 432105. За одно действие разрешается либо поменять местами две соседние цифры в этой записи, либо заменить число, образованное двумя соседними цифрами, на число на 9 меньше, если оно неотрицательное. При этом в записи могут появиться нули в начале. Так, например, если бы на доске было написано число 2025, за первый ход можно было бы получить записи 0225, 2205, 2052, 1125, 2016.
а) Запись какого наименьшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?
б) Запись какого наибольшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?
а) Запись какого наименьшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?
б) Запись какого наибольшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?
Ответ:
Решение:
Вася написал на 99 карточках по одному числу (среди этих чисел могли быть и равные) и положил карточки по кругу числами вниз. Для каждой пары соседних карточек он сообщил Пете, какие числа написаны на этих карточках, но не сообщил, какое число на какой карточке. Мог ли Вася подобрать числа так, чтобы Петя не смог по этим данным наверняка выяснить про каждую карточку, какое число на ней написано?
Ответ:
Решение:
Найдутся ли такие два идущих подряд натуральных числа, что если их «рассыпать» на цифры, то всех цифр от 0 до 9 окажется поровну?
Ответ:
Решение:
В одной из вершин шестиугольника лежит золотая монета, а в остальных ничего не лежит. Кощей Бессмертный чахнет над златом и каждое утро снимает с одной вершины произвольное количество монет, после чего тут же кладёт на соседнюю вершину в шесть раз больше монет. Если к исходу какого-то дня во всех вершинах будет поровну монет, Кощей станет Властелином Мира. Докажите, что хоть злата у него сколько угодно, но Властелином Мира ему не бывать.
Ответ:
Решение:
Целые числа $a$, $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{13}$ таковы, что \[ a=(1+x_1)(1+x_2)\ldots(1+x_{13})=(1-x_1)(1-x_2)\ldots(1-x_{13}). \] Докажите, что $ax_1x_2\ldots x_{13}=0$.
Ответ:
Решение:
Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать «за», «против» или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу «Блестит ли золото?» все гномы проголосовали «за», а по вопросу «Страшен ли Дракон?» Торин воздержался. Сколько могло быть гномов? (Опишите все возможности и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?
Ответ:
Решение:
Кузя разрезал выпуклый бумажный 67-угольник по прямой на два многоугольника, затем таким же образом разрезал один из двух получившихся многоугольников, затем один из трёх получившихся, и так далее. В итоге у него получилось восемь $n$-угольников. Найдите все возможные значения $n$.
Ответ:
Решение:
На доску выписали три натуральных числа: два десятизначных числа $a$ и $b$, а также их сумму $a+b$. Какое наибольшее количество нечетных цифр могло быть выписано на доске?
Ответ:
Решение:
Десятизначные натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a+b=c$. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечётными?
Ответ:
Решение:
На какое наибольшее количество групп можно разбить числа $1, 2, 3, \ldots, 100$ так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких чисел.)
Ответ:
Решение:
Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке 11 конфет, во второй — 22 конфеты, в третьей — 33 конфеты, в четвёртой — 44 конфеты, в пятой — 55 конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре конфеты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.
В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое наибольшее количество конфет он сможет забрать?
В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое наибольшее количество конфет он сможет забрать?
Ответ:
Решение: