По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани — свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что любые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше $1$ см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся независимо от пирамиды, начального положения и скорости жуков.
Ответ:
Решение:
На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{10}$, причём известно, что их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_9$, а десятый кузнечик сидит на дуге $A_9A_{10}A_1$. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке $A_{10}$?
Ответ:
Решение:
Назовем расстановку $n$ единиц и $m$ нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных $n$, $m$ существует хорошая расстановка?
Ответ:
Решение:
На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\dfrac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?
Ответ:
Решение:
На доске написаны $2n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $2n$ последовательных чисел.
Ответ:
Решение:
Около таверны стоят $100$ эльфов, $100$ гномов и $100$ орков. Сначала в неё заходят $10$ эльфов, $10$ гномов и $10$ орков. Затем каждую минуту из неё выходит одно существо и тут же заходит другое, причём всегда после выхода эльфа заходит гном, после выхода гнома — орк, а после выхода орка — эльф. Могло ли оказаться так, что к какому-то моменту в таверне побывали все возможные компании из $30$ существ ровно по одному разу? Все $300$ существ различны.
Ответ:
Решение:
В гостинице $a\gt 1$ этажей, на каждом этаже $b$ одноместных номеров. На математический конгресс приехало $ab$ математиков. Оказалось, что каждому математику на каждом этаже нравится ровно один номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу так, чтобы каждому нравился его номер, чётно.
Ответ:
Решение:
2012 правильных игральных костей (кубиков) составили в ряд таким образом, что каждые две соседние кости прилегают друг к другу одинаковыми гранями (принцип домино). В остальном положение костей случайное. Найдите сумму очков, которые оказались на поверхности получившейся фигуры.
Ответ:
Решение:
Над девятизначным числом разрешается производить следующее действие: любую цифру числа можно заменить на последнюю цифру суммы цифр этого числа. Можно ли с помощью таких действий из числа 133355555 получить число 123456789?
Ответ:
Решение:
Может ли сумма 2015 последовательных натуральных чисел оканчиваться той же цифрой, что и сумма следующих 2019 чисел?
Ответ:
Решение:
В вершинах семнадцатиугольника записали различные целые числа (по одному в каждой вершине). Затем все числа одновременно заменили на новые: каждое заменили на разность двух следующих за ним по часовой стрелке чисел (из соседнего вычитали следующее за ним). Могло ли произведение полученных чисел оказаться нечётным?
Ответ:
Решение:
Четыре седьмых класса поехали на экскурсию. Когда 7А и 7Б пошли в музей, а 7В и 7Г — обедать в кафе, Марья Ивановна подсчитала, что в музее на 15 семиклассников больше, чем в кафе. А когда вечером 7А и 7В пошли в парк, а 7Б и 7Г — в театр, Марья Ивановна насчитала в парке на 8 семиклассников меньше, чем в театре. Умеет ли Марья Ивановна считать?
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить натуральные числа в клетки таблицы размером $7\times7$ так, чтобы в любом квадрате $2\times2$ и любом квадрате $3\times3$ сумма чисел была нечетна?
Ответ:
Решение:
В очереди в школьную столовую стоят 16 школьников так, что мальчики и девочки среди них чередуются. (Первым стоит мальчик, за ним — девочка, за ней — снова мальчик и так далее.) Любой мальчик, за которым в очереди стоит девочка, может поменяться с ней местами. Через некоторое время оказалось, что все девочки стоят в начале очереди, а все мальчики — в конце. Сколько обменов было совершено?
Ответ:
Решение:
На острове живут красные, жёлтые, зелёные и синие хамелеоны.
- В пасмурный день либо один красный хамелеон меняет окрас на жёлтый цвет, либо один зелёный хамелеон — на синий цвет.
- В солнечный день либо один красный хамелеон меняет окрас на зелёный цвет, либо один жёлтый хамелеон — на синий цвет.
Ответ:
Решение:
Простое число $p$ таково, что число $p+25$ является седьмой степенью простого числа. Чему может быть равно $p$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Андрей, Боря, Вера, Галя, Денис и Елена решили сыграть в настольную игру. Они разбились на три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Цель игры — получить как можно больше очков.
К концу игры все дети суммарно набрали 151 очко, причём в каждой команде девочка набрала на 5 очков больше, чем мальчик. При этом если к числу очков Андрея прибавить число очков Гали, то получится 52, а если прибавить число очков Веры, то получится 48. Известно, что каждый из детей набрал целое число очков. Сколько очков набрала Елена? (Каждый из детей набрал целое число очков.)
К концу игры все дети суммарно набрали 151 очко, причём в каждой команде девочка набрала на 5 очков больше, чем мальчик. При этом если к числу очков Андрея прибавить число очков Гали, то получится 52, а если прибавить число очков Веры, то получится 48. Известно, что каждый из детей набрал целое число очков. Сколько очков набрала Елена? (Каждый из детей набрал целое число очков.)
Ответ:
Решение:
На прямой в некотором порядке расположены пять различных точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Известно, что \[AB=4,\quad BC=7,\quad CD=11,\quad DE=16.\] Чему равно наименьшее возможное расстояние между $A$ и $E$?
Ответ:
Решение:
При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля — на 14, и Петя — на 19. Изначально ни одна кнопка не горела. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок были нажаты трижды?
Ответ:
Решение:
За одну операцию можно поменять местами любые две строки или любые два столбца квадратной таблицы. Можно ли за несколько таких операций из закрашенной фигуры, изображённой на рисунке слева, получить закрашенную фигуру, изображённую на рисунке справа? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение: