Ответ:
Решение:
Из клетчатой бумаги вырезана прямоугольная рамка (см. рисунок). Её разрезали по границам клеток на девять частей и сложили из них квадрат $6\times6$. Могли ли все части, полученные при разрезании, оказаться различными? (При складывании квадрата части можно переворачивать.)
Ответ:
Решение:
Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трёх чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?
Ответ:
Решение:
Запишите четыре числа (не обязательно целых), среди которых нет одинаковых, чтобы выполнялось такое условие: если число $x$ есть среди записанных, то хотя бы одно из чисел $x-1$ или $6x-1$ тоже есть среди записанных.
Ответ:
Решение:
За круглым столом сидели 99 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них сказал: «Хотя бы один из двух моих соседей — лжец.» Могло ли среди них быть ровно 60 рыцарей?
Ответ:
Решение:
На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018: \[1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ 2018.\] Найдите среди них какие-нибудь два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стёртыми, оказалась вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел?
Ответ:
Решение:
Фома и Ерёма шли с постоянными скоростями в одном направлении по дороге, вдоль которой стоят километровые столбы. За час Фома прошёл мимо пяти столбов, а Ерёма — мимо шести. Могла ли скорость Фомы быть больше скорости Ерёмы?
Ответ:
Решение:
Найдите три несократимых дроби с числителями и знаменателями, не равными 1, сумма которых — целое число, и сумма дробей, обратных к ним — тоже целое число.
Ответ:
Решение:
В квадрате $5\times5$ расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали.
Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Ответ:
Решение:
В 10 кружков на картинке расставили целые числа от 0 до 9, каждое по разу. Между некоторыми парами из них нарисовали стрелку или отрезок, руководствуясь следующими правилами:
- Если числа отличаются хотя бы на 2, то от меньшего числа нарисовали стрелку к большему;
- Если числа отличаются на 1, то между ними нарисовали отрезок.
Ответ:
Решение:
Магический квадрат — это таблица $3\times3$, в которой расставлены числа так, что суммы по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям одинаковы. На рисунке изображён магический квадрат, в котором все числа, кроме трёх, стёрты. Найдите, чему равно число в левом верхнем углу квадрата.
| ? | 31 | 9 |
| 13 | ||
Ответ:
Решение:
В ряд выписано 11 чисел так, что сумма любых трёх идущих подряд чисел равна 18. При этом сумма всех чисел равна 64. Найдите центральное число.
Ответ:
Решение:
Расположите на плоскости точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ так, чтобы можно было указать ровно восемь треугольников с вершинами в отмеченных точках. Перечислите эти треугольники.
Ответ:
Решение:
Серёжа расставил в кружочках числа от 1 до 8 так, что каждое из чисел, кроме одного, использовано ровно по одному разу. Оказалось, что суммы чисел на каждой из пяти линий равны. Какое число Серёжа не использовал?
Ответ:
Решение:
Можно ли из всех прямоугольников размерами $1\times1$, $1\times3$, $1\times5$, $\ldots$, $1\times2019$, взятых по одному разу, сложить прямоугольник, каждая сторона которого больше 1?
Ответ:
Решение:
У короля есть 10 мудрецов. Однажды он выдал первому мудрецу одну золотую монету, второму — две монеты, третьему — три, …, десятому — десять. Затем он сказал, что каждую минуту мудрецы могут попросить его выдать девяти из них по одной золотой монете. Если в какой-то момент у всех мудрецов монет будет поровну, то они могут их забрать. Смогут ли мудрецы забрать золото?
Ответ:
Решение:
Можно ли в некоторые клетки таблицы $8\times8$ написать единицы, а в остальные — нули, так, чтобы во всех столбцах была разная сумма, а во всех строчках — одинаковая?
Ответ:
Решение:
Женя расставил по кругу числа от 1 до 10 в некотором порядке, а Дима в каждый промежуток между числами вписал их сумму. Могло ли так случиться, что все написанные Димой числа оказались различными?
Ответ:
Решение:
Петя нарисовал 5 прямых и заметил, что они пересекаются ровно в 6 точках. Нарисуйте 8 прямых так, чтобы они пересекались ровно в 11 точках.
Ответ:
Решение: