В белой таблице размером $100\times100$ клеток окрашено в красный цвет $N$ ($N\gt 0$) клеток таким образом, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на 3. Чему может быть равно $N$?
Ответ:
Решение:
Можно ли прямоугольник $1000\times2016$ разрезать на прямоугольники $1\times2015$ и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов?
Ответ:
Решение:
Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат $1\times 1$ тоже является полоской).
Назовём натуральное число $k$ хорошим, если клетчатый прямоугольник $43\times k$ можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?
Назовём натуральное число $k$ хорошим, если клетчатый прямоугольник $43\times k$ можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?
Ответ:
Решение:
Петя разбил клетчатый квадрат $100\times100$ некоторым образом на домино — клетчатые прямоугольники $1\times2$, и в каждом домино соединил центры двух его клеток синим отрезком. Вася хочет разбить этот же квадрат на домино вторым способом, и в каждом своём домино соединить две клетки красным отрезком. Вася хочет добиться того, чтобы из каждой клетки можно было пройти в любую другую, идя по синим и красным отрезкам. Обязательно ли у него будет возможность это сделать?
Ответ:
Решение:
В клетках доски $8\times8$ расставлены натуральные числа от 1 до 64 (каждое по разу) так, что числа, отличающиеся на 1, стоят в соседних по стороне клетках. Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на диагонали из левого нижнего в правый верхний угол?
Ответ:
Решение:
Вася записал в клетки таблицы $9\times9$ натуральные числа от 1 до 81 (в каждой клетке стоит по числу, все числа различны). Оказалось, что любые два числа, отличающихся на 3, стоят в соседних по стороне клетках. Верно ли, что обязательно найдутся две угловых клетки, разность чисел в которых делится на 6?
Ответ:
Решение:
Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов — белый или черный, причем числа 2016 и 2017 покрашены в разные цвета. Обязательно ли можно найти три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа $n$, $n+1$, $\ldots$, $n+8$. При каких $n$ он сможет это сделать?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$, больших 5, клетчатый квадрат размером $n\times n$ клеток можно без остатка разрезать на прямоугольники из двух клеток и кресты из пяти клеток так, чтобы получились фигуры обоих этих видов? Крест из пяти клеток изображен на рисунке справа.
Ответ:
Решение:
Клетчатый прямоугольник $100\times101$ (100 строк, 101 столбец) разбит на полоски $1\times5$ так, что в каждом столбце содержится ровно $k$ вертикальных полосок. Чему может быть равно $k$?
Ответ:
Решение:
Назовем сапогом клетчатую фигуру, составленную из прямоугольника шириной одну и длиной не менее двух клеток и клетки, примыкающей сбоку к одной из крайних клеток этого прямоугольника (на рисунке изображен пример сапога, составленного из 5 клеток; фигуры, которые получаются из изображенного сапога поворотами и переворотами — тоже сапоги). Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеточек на сапоги, среди которых нет равных? Напомним, что фигуры называются равными, если их можно наложить друг на друга так, что они совместятся.
Ответ:
Решение:
Кузнечик начинает движение в левой верхней клетке квадрата $10\times10$. Он может прыгать на одну клетку вниз или вправо. Кроме того, кузнечик может из самой нижней клетки любого столбца перелететь в самую верхнюю клетку того же столбца, а из самой правой клетки любой строки перелететь в самую левую клетку той же строки. Докажите, что кузнечику понадобится хотя бы 9 перелетов, чтобы побывать на каждой клетке квадрата хотя бы по одному разу.
Ответ:
Решение:
Игорь хочет вырезать из клетчатого квадрата размером $11\times11$ 17 клетчатых прямоугольников размером $1\times6$. Можно ли отметить в квадрате одну клеточку так, чтобы она наверняка осталась не вырезанной, как бы Игорь ни старался?
Ответ:
Решение:
Из клетчатого квадрата со стороной 2015 вырезали по клеточкам несколько квадратов со стороной 10. Докажите, что из оставшейся части большого квадрата можно вырезать:
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.
Ответ:
Решение:
Назовём хорошими прямоугольниками квадрат со стороной 2 и прямоугольник со сторонами 1 и 11. Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными сторонами, большими 100, можно разрезать на хорошие прямоугольники.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $n$ во все клетки таблицы $4\times 10$ можно расставить некоторые из чисел от 1 до $n$, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
Ответ:
Решение:
Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит.
Несколько гусей стоят в клетках доски $8\times8$ так, что никакой гусь не бьёт другого гуся, при этом любая незанятая клетка бьётся хотя бы одним гусём. Сколько гусей может стоять на доске? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Несколько гусей стоят в клетках доски $8\times8$ так, что никакой гусь не бьёт другого гуся, при этом любая незанятая клетка бьётся хотя бы одним гусём. Сколько гусей может стоять на доске? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
У Егора есть доска $5\times5$, в каждой клетке которой изначально было написано число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал число в клетке, в которой оказалась фишка, на 1.
После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?
После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?
| 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Ответ:
Решение:
На доске нарисована пустая таблица $3\times51$. Маша хочет заполнить её клетки числами, руководствуясь следующими правилами:
2. Назовём клетку таблицы хорошей, если в ней может оказаться число 153. Сколько всего хороших клеток?
- каждое из чисел 1, 2, 3, $\ldots$, 153 должно присутствовать в таблице;
- в левой нижней клетке таблицы должно стоять число 1;
- для любого натурального $a\leqslant152$ числа $a$ и $a+1$ должны стоять в соседних по стороне клетках.
2. Назовём клетку таблицы хорошей, если в ней может оказаться число 153. Сколько всего хороших клеток?
Ответ:
Решение:
Клетчатый прямоугольник площади $S$ таков, что:
2. Чему может быть равен периметр этого прямоугольника? Укажите все возможные варианты.
- его целиком можно разрезать по линиям сетки на прямоугольники $1\times13$;
- его целиком можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные уголки (примеры уголков изображены на рисунке ниже);
- не существует клетчатого прямоугольника меньшей площади, удовлетворяющего двум предыдущим условиям.
2. Чему может быть равен периметр этого прямоугольника? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение: