Число 11 можно представить в виде суммы четырёх квадратов чисел только одним способом, не считая порядка слагаемых: \[11=9+1+1+0=3^2+1^2+1^2+0^2.\] Можно ли число 99 представить в виде суммы четырёх квадратов двумя различными способами?
Ответ:
Решение:
На рисунке два треугольника разделяют листок бумаги на 6 частей (шестая часть — это то, что останется на листе, если вырезать оба треугольника). Нарисуйте два четырёхугольника, которые разделяют лист бумаги на 9 частей. Пронумеруйте полученные части.
Ответ:
Решение:
Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?
Ответ:
Решение:
Приведите пример такого выражения, состоящего из единиц, скобок, знаков «$+$» и «$\times$», что
- его значение равно 11;
- если в этом выражении заменить все знаки «$+$» на знаки «$\times$», а знаки «$\times$» на знаки «$+$», то всё равно получится 11.
Ответ:
Решение:
Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?
Ответ:
Решение:
Впишите вместо букв $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы сумма цифр во всех прямоугольниках $1\times3$ (и горизонтальных, и вертикальных) равнялась 13. Каждая из цифр от 1 до 5 должна встречаться в таблице ровно один раз.
| 7 | $A$ | |
| $B$ | 6 | $C$ |
| $D$ | $E$ | 8 |
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) должна стоять цифра 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) должна стоять цифра 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) должна стоять цифра 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) должна стоять цифра 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) должна стоять цифра 5 |
Ответ:
Решение:
Расставьте цифры от 1 до 6 (каждую нужно использовать ровно один раз) так, чтобы сумма трёх чисел, расположенных на каждой из 7 прямых, была равна 15. В ответе укажите, какие цифры должны стоять на местах $A$–$F$.
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) должна стоять цифра 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) должна стоять цифра 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) должна стоять цифра 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) должна стоять цифра 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) должна стоять цифра 5 |
| (f) Вместо буквы $F$ | (6) должна стоять цифра 6 |
Ответ:
Решение:
Денис разбил треугольник на девять треугольничков, как показано на рисунке, и расставил в них числа, при этом в белых треугольниках числа оказались равны суммам чисел в соседних с ними (по сторонам) серых треугольниках. После этого Лёша стёр числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 и вместо них написал буквы $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$ в некотором порядке. Получившаяся расстановка чисел и букв изображена на рисунке.
Где какие числа стояли первоначально?
Где какие числа стояли первоначально?
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) стояло число 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) стояло число 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) стояло число 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) стояло число 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) стояло число 5 |
| (f) Вместо буквы $F$ | (6) стояло число 6 |
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 9 расставили в клетки таблицы $3\times3$ так, что сумма чисел на одной диагонали равна 7, а на другой — 21. Чему равна сумма чисел в пяти закрашенных клетках?
Ответ:
Решение:
На рисунке изображён план системы дорог некоторого города. В этом городе 8 прямых улиц, а 11 перекрёстков названы латинскими буквами $A$, $B$, $C$, …, $J$, $K$.
На некоторые три перекрёстка надо поставить по полицейскому так, чтобы на каждой из 8 улиц стоял хотя бы один полицейский. На какие именно три перекрёстка надо поставить полицейских? Достаточно указать хотя бы один подходящий вариант расположения.
Все улицы направлены вдоль прямых линий.
Горизонтальные улицы: $A-B-C-D$, $E-F-G$, $H-I-J-K$.
Вертикальные улицы: $A-E-H$, $B-F-I$, $D-G-J$.
Наклонные улицы: $H-F-C$, $C-G-K$.
На некоторые три перекрёстка надо поставить по полицейскому так, чтобы на каждой из 8 улиц стоял хотя бы один полицейский. На какие именно три перекрёстка надо поставить полицейских? Достаточно указать хотя бы один подходящий вариант расположения.
Все улицы направлены вдоль прямых линий.
Горизонтальные улицы: $A-B-C-D$, $E-F-G$, $H-I-J-K$.
Вертикальные улицы: $A-E-H$, $B-F-I$, $D-G-J$.
Наклонные улицы: $H-F-C$, $C-G-K$.
Ответ:
Решение:
В клетках таблицы $4\times4$ расставлены числа 1, 2, 3, 4 так, что
Постройте соответствие.
- каждое из чисел встречается в каждой строке и в каждом столбце;
- во всех четырёх частях, изображённых на рисунке, суммы чисел равны.
Постройте соответствие.
| $\bullet$ В строчке $A$ двойка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 1. |
| $\bullet$ В строчке $B$ двойка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 2. |
| $\bullet$ В строчке $C$ двойка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 3. |
| $\bullet$ В строчке $D$ двойка стоит | $\bullet$ в столбце с номером 4. |
Ответ:
Решение:
В клетках квадрата расставили числа так, что суммы чисел в каждой вертикали, горизонтали и каждой диагонали из трёх клеток равны. Затем некоторые числа скрыли. Чему равна сумма чисел в двух закрашенных клетках?
Ответ:
Решение:
Клетки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми двумя соседними числами записали их среднее арифметическое. Некоторые числа стёрли, и получилась конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в правой нижней клетке? (Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, разделённая на 2.)
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены шестьдесят горшков. В каждом из горшков сидит хотя бы одна лягушка, и в любых трех стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки. Сколькими способами цапля Анастасия сможет выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки?
Ответ:
Решение:
Расставьте цифры в кружочки так, чтобы произведения чисел в вершинах трёх зелёных треугольников были одинаковы, а все цифры были разными.
Ответ:
Решение:
На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести прямых было выбрано ненулевое чётное количество точек.
Ответ:
Решение:
В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?
Ответ:
Решение:
Соедините точки $A$ и $B$ (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:
1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.
(Достаточно привести один пример.)
1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.
(Достаточно привести один пример.)
Ответ:
Решение:
В клетках квадрата $3\times3$ записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы любые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? (Например, из клетки с буквой $a$ конь может пойти в клетки с буквами $f$ и $h$, а король — в клетки с буквами $b$, $d$ и $e$.)
| $a$ | $b$ | $c$ |
| $d$ | $e$ | $f$ |
| $g$ | $h$ | $i$ |
Ответ:
Решение:
а) Разбейте натуральные числа от 1 до 10 на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была равна 2 или 3.
б) Можно ли натуральные числа от 1 до 2014 разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была 2 или 3?
б) Можно ли натуральные числа от 1 до 2014 разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была 2 или 3?
Ответ:
Решение: