Замкнутая ломаная состоит из 1001 звена и такова, что никакие три её вершины не лежат на одной прямой. Известно, что каждое её звено, кроме, может быть, двух, пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов. Верно ли, что каждое из двух оставшихся звеньев тоже пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов?
Ответ:
Решение:
Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1.
Ответ:
Решение:
В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей.
Ответ:
Решение:
Для каких натуральных $n$ найдутся такие целые числа $a$, $b$, $c$, $d$, большие, чем $10^{2026}$, что \[ a^2+b^2=c^2+d^2\quad\text{и}\quad a+b-c-d=n? \]
Ответ:
Решение:
Как из 13 прямоугольников размерами $1\times1$, $2\times1$, $3\times1$, …, $13\times1$ составить прямоугольник, у которого все стороны больше 1?
Ответ:
Решение:
У Пети есть картонная фигура, показанная на рисунке. Как ему разрезать эту фигуру по линиям клеток на четыре равные фигуры (то есть такие фигуры, из которых любые две можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали)?
Ответ:
Решение:
Проведите два отрезка с концами на сторонах треугольника так, чтобы треугольник оказался разбит на два треугольника, один четырёхугольник и один пятиугольник.
Ответ:
Решение:
Глеб утверждает, что может разрезать треугольник, изображённый справа, на 12 треугольников; а потом 9 из них покрасить в синий цвет, а 3 — в красный так, что в итоге все синие треугольники будут одинаковые и все красные треугольники будут одинаковые. Как он может это сделать?
Ответ:
Решение:
Разрежьте приведённую ниже фигуру на три части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат $6\times6$.
Резать можно только по линиям сетки. Части могут получиться разными.
Резать можно только по линиям сетки. Части могут получиться разными.
Ответ:
Решение:
Можно ли так раскрасить все натуральные числа в красный и синий цвета, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, были разных цветов, и любые два числа, отличающиеся в два раза, были разных цветов?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы $5\times5$ невидимыми чернилами вписано натуральное число. Известно, что сумма всех чисел равна 200, а сумма трёх чисел, находящихся внутри любого прямоугольника $1\times3$, равна 23. Чему равно центральное число в таблице?
Ответ:
Решение:
На некоторые границы клеток доски $10\times 10$ положили спички, а в одну из клеток — фишку, как показано на рисунке. За один ход фишку можно передвигать в соседнюю по стороне клетку, перепрыгивать через спичку запрещено.
Клетка называется достижимой, если в неё можно попасть за несколько ходов из клетки $X$, убрав с доски не более одной спички.
Среди 6 клеток с кружочками выберите все, являющиеся достижимыми.
Клетка называется достижимой, если в неё можно попасть за несколько ходов из клетки $X$, убрав с доски не более одной спички.
Среди 6 клеток с кружочками выберите все, являющиеся достижимыми.
Ответ:
Решение:
Фишку поставили на некоторую клетку доски $5\times5$. Передвигая фишку на соседнюю по стороне клетку, обошли всю доску за исключением одной клетки и вернулись на стартовую позицию. В каждой клетке, кроме начальной, фишка побывала не более одного раза.
На рисунке изображены стрелочки, показывающие, куда передвигали фишку из некоторых клеток.
Выберите на картинке клетку, в которую фишка не заходила.
На рисунке изображены стрелочки, показывающие, куда передвигали фишку из некоторых клеток.
Выберите на картинке клетку, в которую фишка не заходила.
Ответ:
Решение:
Полина вырезала из бумаги три фигурки, изображённые ниже. Каждая из них с одной стороны синяя, а с другой — зелёная.
Выберите все прямоугольники, которые могла сложить Полина, используя эти фигурки:
Выберите все прямоугольники, которые могла сложить Полина, используя эти фигурки:
Ответ:
Решение:
Лёня разрезал по линиям сетки прямоугольник $7\times 4$ на семь прямоугольников площадью 6, 5, 5, 5, 4, 2, 1. Площадь каждого из первых шести прямоугольников Лёня написал в одной из его клеток, как показано на рисунке.
Какой клетке соответствует прямоугольник площади 1?
| A | B | C | D | |
| 1 | 6 | 5 | ||
| 2 | ||||
| 3 | ||||
| 4 | ||||
| 5 | ||||
| 6 | 5 | |||
| 7 | 5 | 4 | 2 |
Ответ:
Решение:
Выберите все четырехклеточные фигурки, из четырех одинаковых копий которых можно сложить фигуру, изображенную на рисунке справа. Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Ответ:
Решение:
Каждую из закрашенных фигур разделили по сторонам клеточек на 4 равные части (одинаковые по форме и размеру). Выберите для каждой большой фигуры форму её части. Фигуры и части можно поворачивать и переворачивать.
Ответ:
Решение:
Полина решила раскрасить свой клетчатый браслет размером $10\times2$ (см. рисунок слева) волшебным узором из одинаковых фигурок (см. рисунок справа), чередуя в них два цвета. Помогите ей это сделать. (Изобразите ответ на полоске, являющейся разверткой браслета.)
Ответ:
Решение:
На листе в клетку нарисован прямоугольник $6\times7$. Разрежьте его по линиям сетки на 5 каких-нибудь квадратов.
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Его требуется разбить на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки. Сделайте это так, чтобы сумма длин всех проведённых отрезков была равна 16 клеткам.
Ответ:
Решение: