Аня нарисовала на плоскости квадрат и поделила верхнюю и нижнюю его стороны на 9 равных частей каждую. Затем она провела 10 прямых, соединяющих самую левую верхнюю точку с самой правой нижней, вторую слева верхнюю точку со второй справа нижней, и так далее. После этого она поделила правую и левую стороны каждую на 8 равных частей и провела 7 горизонтальных прямых через точки деления. (На рисунке показан пример, когда сначала она провела 6 прямых сверху вниз, а затем 3 горизонтальных.) На сколько частей эти прямые поделили квадрат?
Ответ:
Решение:
На доске в строчку выписаны семь красных целых чисел, среднее арифметическое которых равно 18. Паша собирается записать под каждым красным числом синее целое число, отличающееся от него не более чем на 3 (возможно, равное красному). Сколько различных значений (не обязательно целых) может принимать среднее арифметическое семи синих чисел?
Ответ:
Решение:
Определите, в каком количестве точек пересекаются 10 прямых, если среди них есть только две параллельные и ровно три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
У Дениса есть одинаковые десятирублёвые монеты, одинаковые двухрублёвые и одинаковые однорублёвые монеты (монет каждого вида больше 20). Сколькими способами Денис сможет заплатить без сдачи за пирожок стоимостью 16 рублей? Не обязательно использовать монеты каждого вида.
Ответ:
Решение:
Внутри круга нарисовано 16 радиусов этого круга и 10 окружностей, центры которых совпадают с центром круга. На сколько областей радиусы и окружности делят круг?
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник $T$ со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника $T$, отмечены. Назовем множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне $T$. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдется школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиадах. Докажите, что найдется школьник, который участвовал во всех 50 олимпиадах.
Ответ:
Решение:
В классе учится три человека, увлекающихся рисованием, четыре человека, увлекающихся шахматами, и пять человек, увлекающихся танцами (каждый ученик увлекается ровно одним занятием). Учитель хочет разбить всех детей по парам так, чтобы увлечения участников любой пары были различны. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ:
Решение:
У Вики есть 60 карточек с числами от 1 до 60. Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?
Ответ:
Решение:
В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем остальным, кроме себя и своего партнера. Всего было сделано 20200 рукопожатий. Сколько было пар?
Ответ:
Решение:
В пиццерии в каждую пиццу обязательно кладут помидоры и моцареллу. При заказе пиццы надо выбрать одну или несколько начинок: ветчину, грибы, салями или курицу. Также надо выбрать размер пиццы — 25, 30, 35 или 40 сантиметров. Сколько вариантов пиццы можно заказать в пиццерии? Пиццы считаются разными, если они имеют разные размеры или различаются хотя бы одним видом начинки.
Ответ:
Решение:
На рисунке изображена схема трассы для картинга. Старт и финиш в точке $A$, причем картингист по дороге может сколько угодно раз заезжать в точку $A$ и возвращаться на круг.
На путь от $A$ до $B$ или обратно юный гонщик Юра тратит минуту. На путь по кольцу Юра также тратит минуту. По кольцу можно ездить только против часовой стрелки (стрелки показывают возможные направления движения). Юра не поворачивает назад на полпути и не останавливается. Длительность заезда 10 минут. Найдите число возможных различных маршрутов (последовательностей прохождения участков).
На путь от $A$ до $B$ или обратно юный гонщик Юра тратит минуту. На путь по кольцу Юра также тратит минуту. По кольцу можно ездить только против часовой стрелки (стрелки показывают возможные направления движения). Юра не поворачивает назад на полпути и не останавливается. Длительность заезда 10 минут. Найдите число возможных различных маршрутов (последовательностей прохождения участков).
Ответ:
Решение:
Шахматный король находится на поле a1 шахматной доски и хочет пройти на поле h8, двигаясь вправо, вверх или вправо-вверх. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ:
Решение:
У плиточника $n$ одинаковых плиток размером $1\times 2$ фута. Он должен выложить дорожку шириной 2 фута и длиной $n$ футов. Докажите, что количество различных способов укладки дорожки равно $(n+1)$-му числу Фибоначчи. Способы считаются различными, если они отличаются порядком укладки плиток вдоль и поперёк дорожки; на рисунке показан один из возможных способов выложить дорожку длиной 5 футов.
Два первых числа Фибоначчи равны единице: $f_1=1$, $f_2=1$, а далее каждое число равно сумме двух предыдущих: $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$.
Два первых числа Фибоначчи равны единице: $f_1=1$, $f_2=1$, а далее каждое число равно сумме двух предыдущих: $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$.
Ответ:
Решение:
Имеется резинка и стеклянные шарики-бусины: четыре одинаковых красных, две одинаковых синих и две одинаковых зеленых. Нужно все восемь бусин нанизать на резинку последовательно, чтобы получился браслет. Сколько различных браслетов можно составить так, чтобы бусины одного цвета не оказались рядом? (Считайте, что застёжки нет, а узелок на резинке незаметен).
Ответ:
Решение:
Лиза решила вышить себе на футболке узор: шесть точек по кругу, причём каждые две точки соединены отрезком. Каждую точку Лиза вышивает за 1 минуту, а каждый отрезок — ровно за 3 минуты. Сколько минут потребуется Лизе, чтобы вышить весь узор (если она ничего не пропустит и нигде не запутается)?
Ответ:
Решение:
Квадрат разбит на треугольники (см. рисунок). Сколько существует способов закрасить ровно треть квадрата? Маленькие треугольники нельзя красить частично.
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных шестизначных чисел, в записи которых ровно две цифры 1, две цифры 0 и две цифры 3?
Ответ:
Решение:
Пусть натуральные числа $k$ и $n$ взаимно просты, причём $n\geqslant 5$ и $k\lt n/2$. Правильной $(n;k)$-звездой назовём замкнутую ломаную, которая получится, если в правильном $n$-угольнике каждые $k$ последовательных сторон заменить диагональю с теми же концевыми вершинами. Для примера на рисунке показана $(5;2)$-звезда. Эта звезда имеет 5 точек самопересечения — это жирные точки на рисунке. Сколько самопересечений у звезды $(2018;25)$?
Ответ:
Решение:
На рисунке справа изображена прямоугольная сетка $4\times 7$. Сколько всего существует прямоугольников, у которых вершины расположены в узлах сетки, а стороны лежат на линиях сетки? Один такой прямоугольник показан для примера.
Ответ:
Решение: