Вася написал на доске выражение $31+32+33+\ldots+100$, после чего стёр из него несколько слагаемых (при необходимости вместе с идущими перед ними знаками). Значение получившегося после вычёркивания чисел выражения оказалось равно $4489$. Сколькими способами Вася мог стереть числа с доски?
Ответ:
Решение:
Есть $300$ карточек с числами от $1$ до $300$ (на каждой карточке написано ровно одно число, числа на карточках попарно различны). Сколькими способами можно выбрать три карточки, чтобы сумма чисел на них была кратна $3$?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 302 три различных числа так, чтобы их сумма делилась на 3?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами из натуральных чисел от $1$ до $100$ можно выбрать три числа так, чтобы одно из них равнялось среднему арифметическому двух оставшихся?
Ответ:
Решение:
На доске написаны подряд идущие натуральные числа от $1$ до $301$ (каждое из них ровно один раз). Сколькими способами можно стереть три из написанных чисел так, чтобы остаток от деления суммы всех чисел на доске на $3$ после этого не изменился?
Ответ:
Решение:
В кондитерской продаётся 8 видов пирожных, 8 видов конфет, 8 видов булочек и 8 видов печенья. Сколькими способами можно купить 6 различных десертов в этой кондитерской так, чтобы среди них обязательно было хотя бы по одному пирожному, конфете, булочке и печенью?
Ответ:
Решение:
У Васи есть карточки с числами $2000, 2001, \ldots, 2051, 2052$ (на каждой карточке записано ровно одно число; есть ровно одна карточка с каждым из указанных чисел). Сколькими способами он может выбрать $4$ карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных делилась на $3$?
Ответ:
Решение:
Есть 306 различных карточек с числами $3, 19, 3^2, 19^2, \ldots, 3^{153}, 19^{153}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было квадратом целого числа?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 100 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 297, 300$ (на каждой карточке ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 5?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 130 различных карточек с числами $502, 504, 506, \ldots, 758, 760$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 3 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 3?
Ответ:
Решение:
Есть 200 различных карточек с числами $2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{100}, 3^{100}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было кубом целого числа?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 140 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 417, 420$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 7?
Ответ:
Решение:
Даны 6000 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 6000 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на 100. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Даны 2117 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 2117 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на 100. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В сумме $32+33+34+\ldots+100$ нужно вычеркнуть несколько слагаемых так, чтобы получившаяся сумма стала равна 4455. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
$19$ депутатов Городского Собрания выбирают Председателя из $5$ кандидатов. Каждый голосует ровно за одного из них. После голосования составляется протокол заседания, в котором указывается лишь количество голосов за каждого кандидата (без указания, кто за кого проголосовал). Сколько различных протоколов может получиться?
Ответ:
Решение:
$26$ солдат выстроены в одну шеренгу. Сколько существует различных способов выбрать $11$ из них так, что никакие двое из них не стоят рядом?
Ответ:
Решение:
У Васи есть семь книг по математике, а у Вани — девять. Все $16$ книг разные. Сколькими способами они смогут обменяться тремя книгами (то есть дать три книги в обмен на три книги)?
Ответ:
Решение:
Андрею нравятся все числа, не делящиеся на $3$, а Тане нравятся все числа, в которых нет цифр, делящихся на $3$.\ а) Сколько четырёхзначных чисел нравятся и Андрею, и Тане?\ б) Найдите общую сумму цифр всех таких четырёхзначных чисел.
Ответ:
Решение:
Назовем число «новогодним», если в нем все цифры различные, оно не начинается с цифры 2 и при вычеркивании некоторого числа его цифр можно получить 2018. Сколько существует различных семизначных «новогодних» чисел?
Ответ:
Решение: