Найдите количество семизначных чисел, в десятичной записи которых могут встречаться только цифры $4$, $5$, $6$, $7$ и таких, что каждая цифра не меньше предыдущей.
Ответ:
Решение:
Петя составляет «таблицу умножения». Слева от таблицы он написал натуральные числа от $10$ до $75$ включительно, сверху — от $11$ до $48$ включительно. После чего записал в таблицу соответствующие произведения пар чисел. Сколько из выписанных произведений являются чётными числами?
Ответ:
Решение:
Сколько существует делящихся на $9$ одиннадцатизначных натуральных чисел, в записи которых участвуют только цифры $0$ и $8$?
Ответ:
Решение:
Через три стороны правильного 30-угольника проводят прямые. Стороны выбирают так, что прямые пересекаются друг с другом, и исходный многоугольник лежит внутри полученного треугольника. Сколько попарно неравных треугольников может получиться? Равными считаются треугольники, которые можно совместить поворотом или отражением.
Ответ:
Решение:
Сколькими различными способами можно выбрать целые числа $a,b,c\in[1;100]$ так, чтобы точки с координатами $A(-1;a)$, $B(0;b)$ и $C(1;c)$ образовывали прямоугольный треугольник?
Ответ:
Решение:
Найдите коэффициент $a_{2024}$ многочлена $P(x)=\left(1+x^{125}+x^{131}\right)^{18}$, если бы он был приведён в форму суммы одночленов вида $a_kx^k$, $k=0,2,3,\ldots,2358$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны $5$ такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка $[1;50]$. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$, $P(-14;42)$, $Q(6;42)$ и $R(20;0)$. Найдите количество пар точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $3x_2-3x_1+y_2-y_1=33$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$, $P(-12;24)$, $Q(3;24)$ и $R(15;0)$. Найдите количество пар точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $2x_2-2x_1+y_2-y_1=12$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих системе неравенств \[ \begin{cases} y\geqslant 90+x-6^{90},\\ y\leqslant \log_6 x. \end{cases} \] Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более трёх слагаемых.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе неравенств \[ \begin{cases} y\gt 2^x+3\cdot 2^{65};\\ y\leqslant 70+\left(2^{64}-1\right)x. \end{cases} \] Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Ответ:
Решение:
В выпуклом $17$-угольнике проводят все его диагонали. На какое наибольшее число частей они могут его разбить?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисовали ступенчатый прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 клеткам. Потом обвели все линии сетки, находящиеся внутри треугольника. Какое наибольшее количество прямоугольников можно найти на этом рисунке?
Ответ:
Решение:
Пусть $F$ — множество точек в пространстве, все координаты которых являются целыми числами, не превосходящими по модулю 5. Найдите количество прямоугольных треугольников, все вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из трех координатных осей.
Ответ:
Решение:
Дан клетчатый квадрат $101\times101$ с занумерованными клетками. Из него нужно вырезать клетчатый прямоугольник меньшего размера так, чтобы квадрат не распался на две части и у оставшейся фигуры не было дырки внутри. Разрезы можно проводить только по линиям сетки. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных многочленов вида $P(x)=x^5+Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$, где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — целые положительные числа, для которых $P(-1)=11$, $P(1)=21$?
Ответ:
Решение:
Сколько диагоналей в правильном 32-угольнике не параллельны ни одной из сторон этого 32-угольника?
Ответ:
Решение:
Дан правильный 27-угольник $A_1A_2\ldots A_{27}$. Найдите количество неравнобедренных треугольников с вершинами в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_{27}$. Треугольники, отличающиеся порядком вершин (например, $A_1A_2A_4$ и $A_2A_4A_1$), считаются за один треугольник.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: