Мимо бассейна объёмом 400 м$^3$ литров воды шли 37 слонов. Часть из них решило освежиться. После их водных процедур выяснилось, что в среднем каждый слон использовал столько кубометров воды, сколько слонов не участвовали в купании. Известно, что в бассейне остался наименьший из возможных объём воды. Определите, какой объём воды остался в бассейне, сколько воды было израсходовано. Какое наибольшее количество слонов при таких условиях могло участвовать в купании?
Ответ:
Решение:
Павел поймал 32 рака и решил их продать на рынке. Когда у него купили часть улова, то оказалось, что покупатель заплатил за каждого на 4,5 рубля меньше, чем то количество раков, которое осталось лежать на прилавке. При этом мальчик заработал наибольшую сумму денег из всех возможных. Сколько денег заработал Павел? Сколько раков он продал?
Ответ:
Решение:
ООО «Ромашка» выделил 100 тыс. рублей на обновление формы для вахтёров, причём они рассчитывали потратить не более 13,7 тыс. рублей за один комплект. Когда они обратились к производителю, то оказалось, что стоимость одного комплекта меньше предполагаемой на столько рублей, сколько комплектов одежды нужно приобрести, при этом, при покупке нужного количества комплектов формы предприятие получает наименьший остаток от общей суммы выделенных денег. Определите количество комплектов при таких условиях. Какова цена одного комплекта?
Ответ:
Решение:
Катя хочет купить корм для кошек. В прошлый раз вся покупка обошлась ей в 48 рублей. В магазине выяснилось, что стоимость одной упаковки выросла на столько рублей, на сколько число 5,5 больше числа купленных упаковок товара. Известно, что за всю покупку Катя заплатила наибольшую из возможных сумму денег. Определите эту сумму. Сколько упаковок корма было куплено? Определите стоимость одной упаковки.
Ответ:
Решение:
Даны два квадратных трёхчлена со старшим коэффициентом $1$. График одного из них пересекает ось $Ox$ в точках $A$ и $M$, а ось $Oy$ — в точке $C$. График другого пересекает ось $Ox$ в точках $B$ и $M$, а ось $Oy$ — в точке $D$. (Здесь $O$ — начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники $AOC$ и $BOD$ подобны.
Ответ:
Решение:
Когда из бассейна сливают воду, уровень $h$ воды в нём меняется в зависимости от времени $t$ по закону $h(t)=at^2+bt+c$, а в момент $t_0$ окончания слива выполнены равенства $h(t_0)=h'(t_0)=0$. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Ответ:
Решение:
Парабола проходит через точки с координатами $(2019;2020)$, $(2020;0)$ и $(2021;2020)$. Найдите квадратный трехчлен $P(x)=ax^2+bx+c$, графиком которого она является. В ответе укажите ординату точки пересечения параболы с осью ординат.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=x^2+10x+20$. Решите уравнение \[ f\bigl(f\bigl(f\bigl(f(f(x))\bigr)\bigr)\bigr)=0. \]
Ответ:
Решение:
Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, наполнен водой и его глубина равна $h$. В процессе слива воды из бассейна его глубина изменялась по закону \[ h(t)=at^2+bt+c \] при некоторых константах $a$, $b$ и $c$. Начало слива соответствует моменту $t=0$, его завершение — моменту времени $t=T$ при этом $h(T)=0$. Известно, что $h'(T)=0$ и через час после начала слива объем воды в бассейне уменьшился на $36\%$. Найти $T$ — время, за которое вода в бассейне полностью сливается.
Ответ:
Решение:
Дана линейная функция $f(x)$. Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2$ и $y=f(x)$ равно $\sqrt{10}$, а расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2-1$ и $y=f(x)+1$ равно $\sqrt{42}$. Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $y=x^2+1$ и $y=f(x)+2$.
Ответ:
Решение:
Дана линейная функция $f(x)$. Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2+1$ и $y=f(x)$ равно $3\sqrt2$, а расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2$ и $y=f(x)-2$ равно $\sqrt{10}$. Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $y=x^2$ и $y=f(x)$.
Ответ:
Решение:
Дана линейная функция $f(x)$. Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2-1$ и $y=f(x)$ равно $\sqrt{30}$, а расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2$ и $y=f(x)+3$ равно $\sqrt{46}$. Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $y=x^2-1$ и $y=f(x)+1$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=20g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=\frac{f(x)}{A}$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+g(x)$ равно $-6$.
Ответ:
Решение:
Две параболы $y=x^2+ax+b$ и $y=-3x^2+cx+d$ касаются в точке, лежащей на оси $Ox$. Через точку $D$ — вторую точку пересечения первой параболы с осью $Ox$ — проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке $A$, а общую касательную к параболам — в точке $B$. Найдите отношение $DA:DB$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=4g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=Af(x)$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+5f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+5g(x)$ равно $-17$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=11g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=Af(x)$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+2f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+2g(x)$ равно 5.
Ответ:
Решение:
Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$, $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$.
Ответ:
Решение: