На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые могут говорить что угодно. Однажды 30 жителей острова собрались на заседание. Все они по очереди сделали заявления:
- 1-й человек: «Среди нас менее 1 хитреца»;
- 2-й человек: «Среди нас менее 2 хитрецов»;
- …
- 15-й человек: «Среди нас менее 15 хитрецов»;
- 16-й человек: «Среди нас более 1 хитреца»;
- 17-й человек: «Среди нас более 2 хитрецов»;
- …
- 30-й человек: «Среди нас более 15 хитрецов».
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Однажды собрались 80 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 80 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:
Однажды собрались 80 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 80 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:
- «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше моего».
- «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше моего».
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Однажды собрались 10 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:
Однажды собрались 10 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:
- «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего».
- «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего».
Ответ:
Решение:
В лесу живут эльфы и гномы. Однажды 60 жителей этого леса встали в ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эльфов могло быть от 0 до 60 включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от 0 до 60 включительно.)
Каждый из 60 жителей сказал одну из следующих фраз:
1. Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?
2. Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?
Каждый из 60 жителей сказал одну из следующих фраз:
- «Мой сосед справа — эльф».
- «Мой сосед справа — в колпаке».
1. Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?
2. Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 35 жителей острова расселись за 7 столов, по 5 человек за каждым. Каждого из этих 35 жителей спросили: «Столов, за которыми сидят хотя бы 3 рыцаря, больше трёх?»
1. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Да»?
2. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Нет»?
1. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Да»?
2. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Нет»?
Ответ:
Решение:
По зову воеводы пришли 55 солдат: лучники и мечники. Все они были одеты либо в золотые, либо в чёрные доспехи. Известно, что мечники говорят правду, когда носят чёрные доспехи и обманывают, когда носят золотые доспехи, а лучники — наоборот.
- На вопрос «На тебе золотые доспехи?» утвердительно ответили 44 человека.
- На вопрос «Ты лучник?» утвердительно ответили 33 человека.
- На вопрос «Сегодня понедельник?» утвердительно ответили 22 человека.
Ответ:
Решение:
На острове Лжецов и Рыцарей расстановку по кругу называют правильной, если каждый, стоящий в кругу, может сказать, что среди двух его соседей есть представитель его племени. Однажды 2019 аборигенов образовали правильную расстановку по кругу. К ним подошел лжец и сказал: «Теперь мы вместе тоже можем образовать правильную расстановку по кругу». Сколько рыцарей могло быть в исходной расстановке?
Ответ:
Решение:
Три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа $a$, $b$, $c$:
Антон: 1) $a+b+c=34$, 2) $abc=56$;
Борис: 1) $ab+bc+ac=311$, 2) наименьшее из чисел равно 5;
Настя: 1) $a=b=c$, 2) числа $a$, $b$ и $c$ — простые.
У каждого школьника одно утверждение верное, а другое — нет. Найдите числа $a$, $b$, $c$.
Антон: 1) $a+b+c=34$, 2) $abc=56$;
Борис: 1) $ab+bc+ac=311$, 2) наименьшее из чисел равно 5;
Настя: 1) $a=b=c$, 2) числа $a$, $b$ и $c$ — простые.
У каждого школьника одно утверждение верное, а другое — нет. Найдите числа $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
В классе учатся 30 человек: отличники, троечники и двоечники. Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются, а троечники на заданные им вопросы строго по очереди то отвечают верно, то ошибаются. Всем ученикам было задано по три вопроса: «Ты отличник?», «Ты троечник?», «Ты двоечник?». Ответили «Да»: на первый вопрос — 19 учащихся, на второй — 12, на третий — 9. Сколько троечников учится в этом классе?
Ответ:
Решение:
В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено 44 ответа «правдивец» и 28 ответов «лжец». Сколько правдивых ответов мог получить директор?
Ответ:
Решение:
Вася, Петя и Коля учатся в одном классе. Вася в ответ на любой вопрос врёт, Петя попеременно врёт и говорит правду, а Коля врёт в ответ на каждый третий вопрос, а в остальных случаях говорит правду. Однажды каждого из них шесть раз подряд спросили, сколько человек учится в их классе. В ответ пять раз прозвучало: «Двадцать пять», шесть раз: «Двадцать шесть» и семь раз: «Двадцать семь». Можно ли по их ответам узнать, сколько человек в их классе на самом деле?
Ответ:
Решение:
В марсианском парламенте заседают депутаты трёх партий: «Гласные», «Согласные» и «Шипящие» — по 50 депутатов от каждой партии. На голосование был поставлен проект закона «О реконструкции марсианских каналов». После голосования
- по 30 депутатов от каждой партии сказали, что они проголосовали «за»,
- по 10 сказали, что проголосовали против,
- а остальные сказали, что воздержались.
Ответ:
Решение:
В комнате собрались три человека. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт, либо хитрец, который может и говорить правду и лгать по своему желанию.
- Один из собравшихся сказал: «Среди нас есть лжец».
- Другой сказал: «Среди любых двух из нас есть лжец».
- Третий сказал: «Все мы — лжецы».
Ответ:
Решение:
В подводном царстве живут осьминоги, у которых может быть 6, 7 или 8 ног. Те, у которых по 7 ног, всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. При встрече четверых осьминогов
- Синий сказал: «у нас на всех в сумме 25 ног»,
- Зеленый возразил: «нет, всего ног 26»,
- Красный сказал, что в сумме ног 27,
- а Жёлтый — что 28.
Ответ:
Решение:
По кругу стоят $N$ человек, пронумерованных по часовой стрелке от 1 до $N$. Первый, третий, пятый и так далее до конца нумерации сказали: «Мой сосед слева — рыцарь». Второй, четвертый, шестой и так далее до конца нумерации сказали: «Мой сосед слева — лжец». Чему может быть равно число $N$? (Соседом слева называется следующий по часовой стрелке человек.)
Выберите все возможные варианты из предложенных:
Выберите все возможные варианты из предложенных:
- 21,
- 32,
- 43,
- 54.
Ответ:
Решение:
Когда трёх сестёр спросили об их возрасте, Алина, Галина и Полина ответили:
Алина: «Мне 18 лет; я на два года моложе Галины; я на год старше Полины».
Галина: «Я не самая младшая; между мной и Полиной разница в возрасте 3 года; Полине 21 год».
Полина: «Я моложе Алины; мне 19 лет; Галина на 3 года старше Алины».
Известно, что ровно одно утверждение каждой из трёх сестёр оказалось неверным. Сколько лет Алине? Сколько лет Галине? Сколько лет Полине?
Алина: «Мне 18 лет; я на два года моложе Галины; я на год старше Полины».
Галина: «Я не самая младшая; между мной и Полиной разница в возрасте 3 года; Полине 21 год».
Полина: «Я моложе Алины; мне 19 лет; Галина на 3 года старше Алины».
Известно, что ровно одно утверждение каждой из трёх сестёр оказалось неверным. Сколько лет Алине? Сколько лет Галине? Сколько лет Полине?
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались на заседание 50 жителей острова, среди которых было $k$ лжецов ($k\geqslant 4$). Все лжецы по очереди сделали заявления:
- Первый лжец: «Среди нас рыцарей меньше, чем лжецов»,
- Второй лжец: «Среди нас рыцарей столько же, сколько лжецов»,
- Третий лжец: «Среди нас рыцарей на 1 больше, чем лжецов»,
- Четвёртый лжец: «Среди нас рыцарей на 2 больше, чем лжецов»,
- …
- $k$-й лжец: «Среди нас рыцарей на $(k-2)$ больше, чем лжецов».
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралась компания из 33 островитян, среди которых есть хотя бы один рыцарь и хотя бы один лжец. У каждого из них спросили, сколько всего лжецов в этой компании.
- 3 человека сказали: «Трое»;
- 5 человек сказали: «Меньше пяти»;
- 8 человек сказали: «Меньше восьми»;
- 17 человек сказали: «Меньше семнадцати».
Ответ:
Решение:
В классе учатся 25 школьников, каждый из которых либо отличник, либо хулиган. Отличники всегда говорят правду, а хулиганы всегда врут.
Однажды 5 учеников этого класса сказали: «Если я перейду в другой класс, то среди оставшихся учеников будет больше половины хулиганов».
Каждый из оставшихся 20 сказал: «Если я перейду в другой класс, то среди оставшихся учеников хулиганов будет в три раза больше, чем отличников».
Сколько отличников учится в классе? Укажите все возможные варианты.
Однажды 5 учеников этого класса сказали: «Если я перейду в другой класс, то среди оставшихся учеников будет больше половины хулиганов».
Каждый из оставшихся 20 сказал: «Если я перейду в другой класс, то среди оставшихся учеников хулиганов будет в три раза больше, чем отличников».
Сколько отличников учится в классе? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
В классе учатся $N$ школьников: несколько отличников и 8 хулиганов. Отличники всегда говорят правду, а хулиганы всегда врут.
Однажды все ученики этого класса сели за круглый стол, и каждый из них заявил всем остальным: «Как минимум треть из вас — хулиганы!»
Чему может быть равно $N$? Укажите все возможные варианты.
Однажды все ученики этого класса сели за круглый стол, и каждый из них заявил всем остальным: «Как минимум треть из вас — хулиганы!»
Чему может быть равно $N$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение: