Начала анализа

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x\sin x-\sin x+\cos x$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=(x^2-x-2)\sin x+(2x-1)\cos x$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$ на отрезке $[1,e^2]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln x}$ на отрезке $[2,e^2]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $$\sin2x+\cos x>1.$$

Найти интеграл: $\displaystyle\int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2\,dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{(1-x)^2}{x\sqrt x}dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{(1+\sqrt x)^3}{\sqrt[3]{x}}dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}{\sqrt x}dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{3\cdot2^x-2\cdot3^x}{2^x}dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{1+\cos^2x}{1+\cos2x}dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\cos2x\,dx}{\cos^2x\sin^2x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int \text{tg}^2x\,dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\text{ctg}^2x\,dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{(1+2x^2)\,dx}{x^2(1+x^2)}$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{(1+x)^2\,dx}{x(1+x^2)}\,dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{dx}{\cos 2x+\sin^2x}$.

Найти интеграл: $\int(3-x^2)^3\,dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int x^2(5-x)^4\,dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3}\,dx$.