Число $b$ таково, что неравенство $\frac{a_1}{2a_2^2}+\frac{16a_3^4}{a_4^6}\geqslant b$ выполняется для всех натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, удовлетворяющих неравенствам $a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant a_4\leqslant100$. Найдите наибольшее значение $b$.
Ответ:
Решение:
Число $b$ таково, что неравенство $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}\geqslant b$ выполняется для всех натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$, удовлетворяющих неравенствам $a_n\leqslant a_{n+1}$, $n=1,\ldots,8$, $a_8\leqslant 81$. Найдите наибольшее значение $b$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения $\frac{3f(1)+6f(0)-f(-1)}{f(0)-f(-2)}$, если $f(x)=ax^2+bx+c$ — произвольная квадратичная функция, удовлетворяющая условию $b\gt 2a$ и принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения, которые может принимать выражение\[3\arcsin x-2\arccos y\]при условии $x^2+y^2=1$.
Ответ:
Решение:
Пусть $x$ и $y$ удовлетворяют системе \[ \begin{cases} y-x\leqslant5,\\ y+4x\leqslant-5,\\ 3y+2x\geqslant-5. \end{cases} \] Найдите все значения, которые может принимать функция $x^2+y^2$.
Ответ:
Решение:
При каких положительных значениях $a$ и $b$ достигается наибольшее значение выражения \[ \dfrac{ab}{(1+a)(a+b)(b+8)}? \]
Ответ:
Решение:
При каких положительных значениях $a$, $b$ и $c$ достигается наибольшее значение выражения \[ \frac{abc}{(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)}? \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения \[ xyz+xy+yz+zx+2023, \] если сумма неотрицательных чисел $x$, $y$ и $z$ равна 2022.
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение выражения \[ \sqrt{(x+6)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2} \] при условии $2|x|+3|y|=6$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение функции \[ f(x,y)=\frac{2015(x+y)}{\sqrt{2015x^2+2015y^2}} \] и укажите все пары $(x,y)$, при которых оно достигается.
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\max(A,B,C)$ наибольшее из чисел $A$, $B$, $C$. Найдите наименьшее значение величины \[ \max\left(x^2+|y|,\ (x+2)^2+|y|,\ x^2+|y-1|\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ \left(\frac1x+\frac1y\right)^2-3\cdot\left(\frac xy+\frac yx\right)+(x+y)^2 \] при условии, что \[ \frac1x+\frac1y=3. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение произведения \[ \operatorname{tg}x\operatorname{tg}y\operatorname{tg}z, \] где \[ 0\lt x,y,z\lt \frac{\pi}{2},\quad x+y+z=\frac{\pi}{2}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение выражения\[\frac{2bc-2a^2+2a}{2a}+\frac{2ca-2b^2+2b}{2b}+\frac{2ab-2c^2+2c}{2c},\qquad a,b,c\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения\[\frac{1}{1-x^2}+\frac{4}{4-y^2}\]при условиях $|x|\lt 1$, $|y|\lt 2$ и $xy=1$.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение $x+y$, если числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенству \[ \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} y\geqslant1. \]
Ответ:
Решение:
Найдите область значений функции \[ f(x)=\log_2 x\cdot\log_2\frac{64}{x}\cdot\sqrt{\log_3(27-3x)\cdot\log_3\frac{9}{27-3x}}. \]
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам \[ x\leqslant 1,\quad y\leqslant 1,\quad x+y\geqslant 0{,}5. \] Найти наибольшее значение выражения $xy-x-y$. При каких $x$ и $y$ оно достигается?
Ответ:
Решение: