Аня выписала одно за другим 2018 чисел $\frac{1\cdot2}{2}$, $\frac{2\cdot3}{2}$, $\frac{3\cdot4}{2}$, $\ldots$, $\frac{2018\cdot2019}{2}$ и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?
Ответ:
Решение:
Филателист Андрей решил разложить все свои марки поровну в 3 конверта, но оказалось, что одна марка лишняя. Когда он разложил их поровну в 5 конвертов, лишними оказались 3 марки; наконец, когда он разложил их поровну в 7 конвертов, осталось 5 марок. Сколько всего марок у Андрея, если известно, что недавно он купил для них дополнительный альбом, вмещающий 150 марок, так как такого же старого альбома уже не хватало?
Ответ:
Решение:
Для некоторого натурального $k$ десятичная запись числа $k^2+6k$ заканчивается цифрой 6. Найдите все значения, которые может принимать предпоследняя цифра этой записи.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, обладающее следующим свойством: остаток от его деления на 20 на единицу меньше остатка от его деления на 21, а остаток от его деления на 22 равен 2.
Ответ:
Решение:
В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить поровну не удалось?
Ответ:
Решение:
Целые числа $2a^2$ и $3a$ имеют одинаковые остатки при делении на 18. Какие ненулевые остатки может иметь число $a\gt 0$ при делении на 18?
Ответ:
Решение:
Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число $10$ и получили куб натурального числа $N$, большего $6$. Найдите наименьшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
Олег выписал в строку 110 последовательных натуральных чисел, больших $50\,000$. Оказалось, что 12-е число делится на 12, 75-е — на 75, а 110-е — на 110. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных Олегом чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $(x;y)$, при которых является верным равенство \[x^2+x+5y=1\,000\,002.\]
Ответ:
Решение:
Известно, что число $3x-11y$ делится без остатка на число 130. Сколько различных остатков может давать число $4x+20y$ при делении на число 130, если известно, что $x$ и $y$ — целые?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $11m+3n$ делится на 23, следует, что $17m+xn$ также делится на 23 ($m$ и $n$ — натуральные).
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $15m+4n$ делится на 31, следует, что $17m+xn$ также делится на 31 ($m$ и $n$ — натуральные).
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $242400$ и таких, что $k^2+2k$ делится нацело на $303$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $291000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $291$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее натуральное число, имеющее при делении на $3$, $5$ и $6$ в остатке $1$, а при делении на $11$ — остаток $5$.
Ответ:
Решение: