Выпуклые четырёхугольники $ABCD$ и $KLMN$ расположены так, что прямые $KL$, $LM$, $MN$ и $NK$ являются биссектрисами внешних углов $A$, $B$, $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно. При этом $ABCD$ не является параллелограммом. Диагонали четырёхугольника $KLMN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что если $\angle BAD=\angle BCD\lt 90^\circ$, то $PA=PC$.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A+\angle D=90^\circ$. Его диагонали пересекаются в точке $E$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$, $CD$, $AE$ и $ED$ в точках $X$, $Y$, $Z$ и $T$ соответственно. Известно, что $AZ=CE$ и $BE=DT$. Докажите, что длина отрезка $XY$ равна диаметру окружности, описанной около треугольника $ETZ$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ — середина дуги $ABC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. На отрезке $AD$ отмечена точка $E$, а на отрезке $CD$ — точка $F$. Известно, что $ME=MD=MF$. Докажите, что точки $B$, $M$, $E$ и $F$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB\lt BC$. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, а $H$ — основание высоты, опущенной из вершины $B$. Вписанная окружность касается стороны $AC$ в точке $K$. Прямая, проходящая через $K$ и параллельная $MH$, пересекает отрезок $MN$ в точке $P$. Докажите, что в четырехугольник $AMPK$ можно вписать окружность.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$. На биссектрисе угла $ABC$ внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $D$, а на отрезке $BD$ — точка $E$ так, что $AE=BE$ и $BD=CD$. Точки $P$ и $Q$ — центры окружностей, описанных около треугольников $AOE$ и $COD$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $C$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой или на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. На стороне $AB$ выбрана точка $L$ так, что $AL=CK$. Отрезки $AK$ и $CL$ пересекаются в точке $M$. На продолжении отрезка $AD$ за точку $D$ отмечена точка $N$. Известно, что четырехугольник $ALMN$ — вписанный. Докажите, что $\angle CNL=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность $\omega$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пересекает окружность $\omega$ в точках $K$ и $L$. Точка $N$ — середина дуги $CD$ описанной окружности треугольника $PCD$, не содержащей точку $P$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ вписан шестиугольник $AECDBF$. Известно, что точка $D$ делит дугу $BC$ пополам, а треугольники $ABC$ и $DEF$ имеют общую вписанную окружность. Прямая $BC$ пересекает отрезки $DF$ и $DE$ в точках $X$ и $Y$, а прямая $EF$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Докажите, что точки $X$, $Y$, $T$, $Z$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AC\lt BC$. Окружность проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $CA$ и $CB$ повторно в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ABC$ и $A_1B_1C$ пересекаются повторно в точке $P$. Отрезки $AB_1$ и $BA_1$ пересекаются в точке $S$. Точки $Q$ и $R$ симметричны $S$ относительно прямых $CA$ и $CB$. Докажите, что точки $P$, $Q$, $R$ и $C$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр окружности $\Omega$, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На дуге $AC$ этой окружности, не содержащей точку $B$, взята точка $P$. На отрезке $BC$ выбрана точка $X$ так, что $PX\perp AC$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $BXP$, лежит на окружности, описанной около треугольника $ABO$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, а $D$ — основание высоты, проведённой из $A$. На отрезке $MN$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=CK$. Луч $KD$ пересекает окружность $\Omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $Q$. Докажите, что точки $C$, $N$, $K$ и $Q$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ касается сторон угла $BAC$ в точках $B$ и $C$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Окружность $\omega$ пересекает $\ell$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$ и $T$ выбраны на отрезке $BC$ так, что $KS\parallel AC$ и $LT\parallel AB$. Докажите, что точки $P$, $Q$, $S$ и $T$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Точка $Q$ выбрана на отрезке $BC$ так, что $PQ\perp AC$. Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, описанных около треугольников $APD$ и $BQD$, параллельна прямой $AD$.
Ответ:
Решение:
Дан четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle A=\angle C=90^\circ$. Известно, что его вершины $A$ и $D$ вместе с серединами сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности. Докажите, что вершины $B$ и $C$ вместе с серединами сторон $AD$ и $DC$ тоже лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A=2\angle B$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Докажите, что $AD+AE=BE$.
Ответ:
Решение:
Пусть $I$ — центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $M$ и $N$ — точки касания вписанной окружности сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Через точку $I$ проведена прямая $\ell$, параллельная стороне $AC$, и на неё опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$. Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ нашлись соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $DB=BC=CE$. Отрезки $BE$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $BDP$ и $CEP$, пересекаются в центре окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$ с центром в точке $O$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, причём точка $O$ лежит внутри треугольника $BPC$. На отрезке $BO$ выбрана точка $H$ так, что $\angle BHP=90^\circ$. Описанная окружность $\omega$ треугольника $PHD$ вторично пересекает отрезок $PC$ в точке $Q$. Докажите, что $AP=CQ$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $I$ вписана в четырёхугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что точка $P$ лежит на описанной окружности $\omega$ треугольника $AIC$. Докажите, что точка $Q$ тоже лежит на окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ взяты точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между $A$ и $L$), а на стороне $CD$ взяты точки $M$ и $N$ (точка $M$ между $C$ и $N$). Известно, что $AK=KN=DN$ и $BL=BC=CM$. Докажите, что если $BCNK$ — вписанный четырёхугольник, то и $ADML$ тоже вписан.
Ответ:
Решение: