Треугольник $ABC$ вписан в окружность $O$ радиуса $R$, точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Окружности $O_1$, $O_2$ и $O_3$ проведены через точки $K$, $L$ и $M$ соответственно, касаются окружности $O$ и каждая имеет с треугольником $ABC$ единственную общую точку. Найти радиус окружности $O_3$, если радиусы окружностей $O_1$ и $O_2$ равны $\frac13R$ и $\frac14R$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Через центр $O$ окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведена прямая, параллельная $BC$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Окружность $\omega$ проходит через точки $B_1$, $C_1$ и касается $\Omega$ в точке $K$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BC$. Найти площадь треугольника $ABC$ и радиус окружности $\Omega$, если $B_1C_1=6$, $AK=6$, а расстояние между прямыми $BC$ и $B_1C_1$ равно 2.
Ответ:
Решение:
Сотовая связь — это целый мир возможностей. Но чтобы пользоваться ими, нужно быть в зоне действия базовой станции. Сети GSM (2G) имеют мощность, которая позволяет покрывать территорию радиусом до 35 километров на открытой местности. В городских условиях, где много зданий, зона приёма сигнала значительно уменьшается. Сети 3G и 4G (LTE) работают на более высоких частотах, чем сети 2G, и их сигнал хуже проникает сквозь препятствия и больше подвержен помехам. В сетях GSM было достаточно нескольких вышек, чтобы покрывать большие территории, а для 3G и 4G сетей для обеспечения надежной связи требуется больше вышек. В городе установлен ретранслятор GSM сети, который обеспечивает покрытие в пределах окружности радиусом $R=24$ км. Центр окружности — основание вышки. Однако из-за особенностей рельефа зона покрытия этого ретранслятора ограничена хордой, проведённой внутри этой окружности. Хорда находится на расстоянии $d=3$ км от центра окружности. В меньшем сегменте, образованном хордой, необходимо установить два дополнительных ретранслятора (3G вышки) так, чтобы их зоны покрытия касались друг друга, хорды и основной окружности. Каждый из этих ретрансляторов имеет круговую зону покрытия одинакового радиуса $r$. Найдите радиусы зон покрытия двух дополнительных ретрансляторов, которые нужно установить в меньшем сегменте. Определите площадь части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия дополнительных ретрансляторов.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ высоты $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$, точка $M$ — середина стороны $BC$, а $X$ — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники $BMF$ и $CME$. Докажите, что точки $X$, $M$ и $H$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $AC$ — в точке $E$. Пусть $X$ и $Y$ — середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $MXY$, касается $\omega$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Точки $X$ и $Y$ — середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника $MXY$ касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром в точке $O$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $C$ и касается медианы $AD$ треугольника $ABC$ в точке $A$. $OB$ — биссектриса угла $AOD$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=1$ пересекаются в точке $O$. Две окружности, пересекающие основание $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, касаются друг друга в точке $O$, а прямой $AD$ — в точках $A$ и $D$ соответственно. Найдите $AK^2+DL^2$.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке $A$, а третьей окружности — в точках $B$ и $C$. Продолжение хорды $AB$ первой окружности пересекает вторую окружность в точке $D$, продолжение хорды $AC$ пересекает первую окружность в точке $E$, а продолжения хорд $BE$ и $CD$ — третью окружность в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите $BG$, если $BC=5$ и $BF=12$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AD=8$, $AB=4$ расположены три круга $K$, $K_1$ и $K_2$. Круг $K$ касается кругов $K_1$, $K_2$ внешним образом, а также прямых $AD$ и $BC$. Круги $K_1$, $K_2$ касаются также сторон $AD$, $AB$ и $AD$, $CD$ соответственно. Найти максимальное возможное значение суммы площадей трех кругов.
Ответ:
Решение:
Даны равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD$ и $BC$ — основания, $AD\gt BC$) и окружность $\omega$ с центром $C$, касающаяся стороны $AD$. Касательные к $\omega$, проведённые из точки $B$, пересекают прямую $AD$ в точках $P$ и $Q$ (точка $P$ лежит между $Q$ и $D$). На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ выбрана точка $N$ так, что $\angle CPN$ — прямой. Найдите углы $ADC$, $NQC$ и площадь четырёхугольника $NCDQ$, если известно, что $\angle NCP=\operatorname{arctg}\frac{12}{5}$, $AP=\frac{13}{2}$, $NC=13$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются в точке $A$ внутренним образом. Отрезок $AB$ — диаметр большей окружности $\Omega$, а хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $D$. Луч $AD$ повторно пересекает $\Omega$ в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно $BC$, повторно пересекает $\Omega$ в точке $F$. Найдите радиусы окружностей, угол $AFE$ и площадь треугольника $AEF$, если известно, что $CD=8$, $BD=17$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром $O$. Окружность, проходящая через точки $A$, $O$ и $C$, пересекает отрезок $BC$ в точке $P$. Касательные к $\omega$, проведённые через точки $A$ и $C$, пересекаются в точке $T$. Отрезок $TP$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Известно, что площади треугольников $APK$ и $CPK$ равны соответственно 6 и 4.
а) Найдите площадь треугольника $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle ABC=\operatorname{arctg}\frac75$. Найдите $AC$.
а) Найдите площадь треугольника $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle ABC=\operatorname{arctg}\frac75$. Найдите $AC$.
Ответ:
Решение:
Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ c центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$, а также вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно $\frac54$. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
Ответ:
Решение:
а) Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$, а также вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно 2. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=2$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=2$.
Ответ:
Решение:
а) Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$ и пересекает вторично окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно $\frac32$. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=1$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются внешним образом в точке $F$, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\Omega$ и $\omega$ соответственно в точках $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через точку $B$, вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $C$, а также пересекает $\Omega$ в точках $D$ и $E$ (точка $D$ расположена между $C$ и $E$). Общая касательная окружностей, проходящая через точку $F$, пересекает прямые $AB$ и $BE$ в точках $P$ и $H$ соответственно (точка $F$ лежит между точками $P$ и $H$). Известно, что $BC=42$, $DH=HC=4$. Найдите длину отрезка $HP$ и радиусы обеих окружностей.
Ответ:
Решение:
Окружности $\omega$ и $\Omega$ касаются внешним образом в точке $F$, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\omega$ и $\Omega$ соответственно в точках $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через точку $B$, вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $C$, а также пересекает $\omega$ в точках $D$ и $E$ (точка $D$ расположена между $C$ и $E$). Общая касательная окружностей, проходящая через точку $F$, пересекает прямые $AB$ и $BE$ в точках $P$ и $H$ соответственно (точка $H$ лежит между точками $P$ и $F$). Известно, что $BC=60$, $DH=HC=2$. Найдите длину отрезка $HP$ и радиусы обеих окружностей.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна 6, а угол $ACB$ равен $120^\circ$. Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt3$ касается сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$ соответственно и пересекает сторону $AB$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) так, что отрезок $MK$ параллелен $AC$. Найдите длины отрезков $CL$, $MK$, $AB$ и площадь треугольника $ANL$.
Ответ:
Решение: