В остроугольном треугольнике $ABC$ сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна $4$. Для любой точки $D$ на прямой $AB$ ($D\not\equiv A,B$) рассматривается величина $m$, равная сумме радиусов окружностей, описанных около треугольников $ACD$ и $BCD$. Найти наименьшее значение $m$.
Ответ:
Решение:
Моль проела в ковре дырку в форме прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см. Найдите наименьший размер квадратной заплатки, которой можно закрыть эту дырку (заплатка закрывает дырку, если все точки прямоугольника лежат внутри квадрата или на его границе).
Ответ:
Решение:
Высота $BD$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекается с его другими высотами в точке $H$. Точка $K$ лежит на отрезке $AC$ так, что величина угла $BKH$ максимальна. Найдите $DK$, если $AD=2$, $DC=3$.
Ответ:
Решение:
Газонная поливалка равномерно разбрызгивает вокруг себя воду в круге радиуса $4-2\sqrt{2}$. На границе этого круга расположена другая такая же поливалка. А ровно посередине между двумя поливалками находится вход в нору. Мышь, хозяйка норы, хочет вернуться домой, но не хочет сильно вымокнуть. Найдите длину пути, на котором мышь намокнет меньше всего. Мышь может менять направление бега, но её скорость постоянна, и под душем двух поливалок мышь мокнет вдвое быстрее.
Ответ:
Решение:
В выпуклом $2024$-угольнике длины всех диагоналей не превосходят $1$. Какое наибольшее количество сторон длины $1$ может быть в этом $2024$-угольнике?
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Ответ:
Решение:
Единичный квадрат разрезан на $n$ треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной $1/n$.
Ответ:
Решение:
Карлсон ест треугольный торт. Он режет торт по биссектрисе одного из углов, съедает одну из частей, а с другой повторяет ту же операцию. Если Карлсон съест больше половины торта, он станет не в меру упитанным мужчиной в самом расцвете сил. Докажите, что рано или поздно это произойдёт.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяли такую точку $D$, что угол $BDC$ равен углу $ABC$. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, если $BC=1$?
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE=CE$. На отрезках $AB$, $AC$, $AE$ и $AD$ выбраны точки $L$, $K$, $P$ и $Q$ (все ранее названные точки различны) соответственно так, что \[\angle EAD=\angle PDE=\angle QED=\angle AKP=\angle ALQ.\] Докажите, что $LK+DE\leqslant AD+AE$.
Ответ:
Решение:
Волк окружен собаками, расположенными в точках $M$, $N$, $P$ и $Q$ на сторонах квадрата $ABCD$, $M\in[A;B]$, $N\in[B;C]$, $P\in[C;D]$, $Q\in[D;A]$ так, что $AM:MB=BN:NC=CP:PD=DQ:QA=1:3$. Волк, находящийся внутри квадрата в точке пересечения прямых $MP$ и $NQ$, может бежать со скоростью $v_{\text{в}}$ по прямой в любом направлении. Собаки бегают только по сторонам квадрата со скоростью, не превосходящей $v_{\text{с}}$. Волк может вырваться из окружения, если на границе квадрата встретит не более одной собаки. При каких значениях отношения $v_{\text{с}}/v_{\text{в}}$ волк имеет шанс спастись?
Ответ:
Решение:
В круге радиуса 5 три разных хорды пересекаются в одной точке, причем две из них делятся этой точкой пополам. Какова при этом наименьшая возможная длина третьей хорды?
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X$. $M$ — точка пересечения биссектрисы угла $BXD$ с хордой $BD$. Найдите отрезок $BM$, если $BD=27$, а площади треугольников $CXB$ и $AXD$ относятся как $25:16$.
Ответ:
Решение:
Вершины треугольника делят описанную вокруг него окружность на три дуги. Длины отрезков, соединяющих середины двух из этих дуг с серединами хорд, стягивающих эти дуги, равны $2$ и $9$. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен $17$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$), а также через точку $L$ пересечения стороны $BC$ с биссектрисой $AL$. Катет $AC$ точкой пересечения $N$ с окружностью оказался разделён на два отрезка: $AN=4$, $NC=8$. Найдите площадь треугольника $ABC$. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Точка $K$ расположена вне окружности $\Omega$ с центром $O$, точка $M$ — внутри $\Omega$, а точка $P$ — на $\Omega$. Отрезок $KM$ пересекает $\Omega$ в точке $L$, а прямая $KP$ касается окружности. Найдите квадрат радиуса окружности, если известно, что $OM=2$, $LM=5$, $KL=9$, $KP=12$.
Ответ:
Решение:
В равносторонний треугольник $PQR$ вписана окружность. Высота $PH$ пересекает эту окружность в точке $A$, отличной от $H$. Прямая $AQ$ пересекает окружность в точке $B$, отличной от $A$. Найдите радиус окружности, если известно, что $AB=\sqrt{63}$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$, основание $AD$ которой вдвое больше основания $BC$, вписана в окружность $\omega$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $CD$, пересекает вторично окружность $\omega$ в точке $P$, а сторону $AD$ — в точке $N$. Найдите периметр трапеции $ABCD$, если известно, что $BN=4$, $PN=9$.
Ответ:
Решение:
Хорда $AC$ образует угол $32^\circ$ с диаметром $AD$. Из центра окружности $O$ опущен перпендикуляр $OH$ на хорду $AC$, его продолжение пересекает окружность в точке $B$. Найдите угол между прямыми $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
В окружности диаметр $AB$ и хорда $PQ$ пересекаются в точке $C$ под прямым углом. Найдите длины биссектрис треугольника $APQ$, если $PC=5$, $AC:CB=8$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. На его описанной окружности отмечена точка $D$, диаметрально противоположная вершине $A$. Точки $X$ и $Y$ на стороне $BC$ таковы, что $BX=XD$ и $CY=YD$ (точка $X$ лежит на отрезке $BY$). Докажите, что $DA$ — биссектриса угла $XDY$.
Ответ:
Решение: