В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная к окружности, которая пересекает катет $CB$ в точке $D$. Найдите длину $DB$, если $AE=6$, а $BE=2$.
Ответ:
Решение:
Окружности радиусов $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ ($r_1\lt r_2\lt r_3\lt r_4$) вписаны в угол. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите \[ \frac{L_1+L_3}{\pi}, \] где $L_1+L_3$ — сумма длин первой и третьей окружностей, если длина радиуса четвёртой окружности равна $r_4=64$, а площадь круга, ограниченного второй окружностью с радиусом $r_2$, равна $16\pi$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром на стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) касается сторон $AB$ и $BC$. Найти радиус окружности, если площадь треугольника $ABC$ равна $25$, а отношение высоты $BD$ к стороне $AC$ равно $\frac38$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ с центром $O$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Известно, что $AD=2CE$, а угол $DOE$ равен $\operatorname{arcctg}\frac{1}{3}$. Найти углы треугольника $ABC$ и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью $\omega$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ окружность радиуса $\frac{13}{3}$ с центром на отрезке $BC$ проходит через точку $B$ и касается отрезка $AC$ в точке $D$ такой, что угол $ADB$ равен $\operatorname{arctg}\frac{3}{2}$. Найдите высоту $BF$ треугольника $ABC$ и длину отрезка $CD$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если длины отрезков $AB$ и $CD$ равны.
Ответ:
Решение:
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные $AC$ и $BD$. Их точки касания с меньшей окружностью — $A$ и $B$, с большей окружностью — $C$ и $D$. Найдите радиусы окружностей, если известно, что $AB=24/5$, $AC=12$.
Ответ:
Решение:
Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, причём $BC\lt AD$, $\angle BCD=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $CD$. Известно, что окружность радиуса $5$ проходит через точки $A$ и $B$ и касается стороны $CD$ в точке $M$, а $\cos\angle BMC=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Найдите длины отрезков $AB$ и $BC$, а также площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность. Через точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую $AC$ за точкой $C$ в точке $E$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$, если $AC=21$, $CE=35$ и $BD=AB/8$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность $\omega$ радиуса $2$, центр $O$ которой лежит на диагонали $BD$, касается отрезков $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Известно, что $BM=3$, а четырёхугольник $KOBA$ вписан в окружность $\Omega$. Найдите угол $COD$, площадь трапеции $ABCD$ и радиус окружности $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Окружность, диаметром которой является боковая сторона $AB$ прямоугольной трапеции $ABCD$, касается боковой стороны $CD$ в точке $K$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $L$. Найдите длину отрезка $KL$, если длины оснований трапеции равны $3$ и $5$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ последовательно расположены на прямой, причём $AB=BC=DE=2$, $CD=1$. Окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга, таковы, что $\Omega$ проходит через точки $D$ и $E$, а $\omega$ проходит через точки $B$ и $C$. Найдите радиусы окружностей $\Omega$ и $\omega$, если известно, что их центры и точка $A$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Две окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов $R=13{,}25$ и $r=9$ касаются внутренним образом. Хорда $AB$ окружности $\Omega$ касается окружности $\omega$ в точке $C$. Найдите длину хорды $AB$, если известно, что $AC:CB=1:2$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt3$ касается сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$ соответственно и пересекает сторону $AB$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) так, что отрезок $MK$ параллелен $AC$, $KC=1$, $AL=6$. Найдите $\angle ACB$, длины отрезков $MK$, $AB$ и площадь треугольника $CMN$.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$, $AD\gt BC$). Окружность $\Omega$ вписана в угол $BAD$, касается отрезка $BC$ в точке $C$ и повторно пересекает $CD$ в точке $E$ так, что $CE=9$, $ED=7$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь трапеции $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$, $AD\gt BC$). Окружность $\Omega$ вписана в угол $BAD$, касается отрезка $BC$ в точке $C$ и повторно пересекает $CD$ в точке $E$, так что $CE=9$, $ED=16$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь трапеции $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются в точке $A$ внутренним образом. Отрезок $AB$ — диаметр большей окружности $\Omega$, а хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $D$. Луч $AD$ повторно пересекает $\Omega$ в точке $E$. Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника $BACE$, если известно, что $CD=1$, $BD=3$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы внутреннего и внешнего угла $A$ треугольника $ABC$ пересекают прямую $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружность, описанная вокруг треугольника $AMN$, касается стороны $AB$ в точке $A$. Прямая $AC$ повторно пересекает окружность в точке $K$. Найдите радиус окружности, угол $ACB$ и площадь четырёхугольника $ANKM$, если известно, что $AB=3\sqrt3$, $BM=\sqrt6$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O$ касается прямых $AB$ и $BC$ в точках $A$ и $C$ соответственно. Высота $CH$ треугольника $ABC$ пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$. Найдите отношение $AB:CH$, если площадь треугольника $ABD$ равна 6, а радиус окружности равен 4.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы внутреннего и внешнего угла $A$ треугольника $ABC$ пересекают прямую $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружность, описанная вокруг треугольника $AMN$, касается стороны $AB$ в точке $A$. Найдите радиус окружности, угол $ACB$ и площадь треугольника $ABN$, если известно, что $AB=3$, $BM=1$.
Ответ:
Решение:
Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\Omega$, хорда $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC:CB=7$. Найдите длину $AB$, если известно, что радиусы $\omega$ и $\Omega$ равны $1$ и $5$ соответственно.
Ответ:
Решение: