Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и при этом треугольники $BOC$ и $AOD$ — правильные. Точка $T$ симметрична точке $O$ относительно середины стороны $CD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=2$, $AD=3$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=2$, $AD=3$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность. Длины сторон $AB$ и $AD$ равны. На стороне $CD$ расположена точка $Q$ так, что $DQ=1$, а на стороне $BC$ — точка $P$ так, что $BP=2$. При этом $\angle DAB=2\angle QAP$. Найти длину отрезка $PQ$.
Ответ:
Решение:
Рисунок (вид сверху) изображает такую ситуацию:
Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки $A$ в точку $B$ (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённой, если она хотя бы на мгновение оказалась в тени забора. Какая площадь пустыря окажется затенённой?
Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки $A$ в точку $B$ (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённой, если она хотя бы на мгновение оказалась в тени забора. Какая площадь пустыря окажется затенённой?
Ответ:
Решение:
Даны треугольники $ABC$ и $A'B'C'$, площади которых равны $1$ и $2025$ соответственно. Известно, что лучи $AB$ и $A'B'$ параллельны и идут в противоположных направлениях (см. рисунок). То же верно и для пар $BC$ и $B'C'$, $CA$ и $C'A'$. Точки $A''$, $B''$ и $C''$ — середины отрезков $AA'$, $BB'$ и $CC'$. Найдите площадь треугольника $A''B''C''$.
Ответ:
Решение:
Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.
Ответ:
Решение:
На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)
Ответ:
Решение:
Внутри выпуклого четырёхугольника $A_1A_2B_2B_1$ нашлась такая точка $C$, что треугольники $CA_1A_2$ и $CB_1B_2$ правильные. Точки $C_1$ и $C_2$ симметричны точке $C$ относительно прямых $A_2B_2$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $BD=CD$, $\angle BDC=120^\circ$. Вне треугольника $ABC$ взята такая точка $E$, что $AE=CE$, $\angle AEC=60^\circ$ и точки $B$ и $E$ находятся в разных полуплоскостях относительно $AC$. Докажите, что $\angle AFD=90^\circ$, где $F$ — середина отрезка $BE$.
Ответ:
Решение:
На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ — правильный. Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с основанием $AC=14$ и боковыми сторонами $AB=13$ и $BC=15$ из центра вписанной окружности строится ломаная линия из трех звеньев так, что конечная ее точка — центр описанной около $ABC$ окружности, а еще две точки $M$ и $K$ лежат на боковых сторонах треугольника $ABC$. Найдите площадь треугольника $MBK$, если длина этой ломаной линии наименьшая.
Ответ:
Решение:
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ наружу построены равнобедренные прямоугольные треугольники $ABD$ и $BCF$ с катетами, равными соответствующим сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Прямые $FB$ и $DC$ пересекаются в точке $M$, а $FA$ и $BC$ — в точке $N$. Найдите градусную меру $\angle BMN$.
Ответ:
Решение:
Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги, согнув его несколько раз, и сделать один прямолинейный разрез так, что после разворачивания отрезанная часть превратится
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Для произвольной прямой $\ell$ обозначим через $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$ прямые, симметричные $\ell$ относительно сторон треугольника, а через $I_\ell$ — центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек $I_\ell$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Прямая $l$ касается вписанной в него окружности. Обозначим через $l_a$, $l_b$, $l_c$ прямые, симметричные $l$ относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику $ABC$.
Ответ:
Решение:
Из начала координат проведено $240$ лучей, которые делят координатную плоскость на углы в $1{,}5^\circ$. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой $y=30-x$.
Ответ:
Решение:
Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $155$ и $13$ соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$.
Ответ:
Решение:
Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $65$ и $31$ соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$ со сторонами $BC=8$ и $AC=4$. Найдите длину стороны $AB$, если длина вектора $4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}$ равна $10$.
Ответ:
Решение:
Найдите координаты центра и радиус окружности, описанной около четырёхугольника на рисунке, если сторона клетки равна $1$.
Ответ:
Решение:
В параболу $y=2x^2$ вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси $Ox$. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?
Ответ:
Решение: