14692
В выпуклом $n$-угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого $n$-угольника равны $63^\circ$ и $97^\circ$. Какое наибольшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
14693
В выпуклом пятиугольнике $PQRST$ угол $PRT$ в два раза меньше, чем угол $QRS$, а все стороны равны. Найдите угол $PRT$.
Ответ:
Решение:
14694
Назовём многоугольник хорошим, если у него найдётся пара параллельных сторон. Некоторый правильный многоугольник разрезали непересекающимися (по внутренним точкам) диагоналями на несколько многоугольников так, что у всех этих многоугольников одно и то же нечётное количество сторон. Может ли оказаться, что среди этих многоугольников есть хотя бы один хороший?
Ответ:
Решение:
14695
На каждой стороне выпуклого 100-угольника отметили по две точки, делящие эту сторону на три равные части. После этого всё, кроме отмеченных точек, стёрли. Докажите, что по отмеченным точкам можно однозначно восстановить исходный 100-угольник.
Ответ:
Решение:
14696
Дан параллелограмм $ABCD$, $\angle D=100^\circ$, $BC=12$. На стороне $AD$ есть такая точка $L$, что $\angle ABL=50^\circ$, $LD=4$. Найдите длину $CD$.
Ответ:
Решение:
14697
Точка $E$ — середина стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$. На отрезке $DE$ нашлась такая точка $F$, что $AD=BF$. Найдите величину угла $CFD$.
Ответ:
Решение:
14698
Дан параллелограмм $ABCD$. На сторонах $AB$ и $BC$ и продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбраны соответственно точки $K$, $L$ и $M$ так, что треугольники $KLM$ и $BCA$ равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок $KM$ пересекает отрезок $AD$ в точке $N$. Докажите, что $LN\parallel AB$.
Ответ:
Решение:
14699
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 6, сторона $BC$ равна 11. Из вершин $B$ и $C$ проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону $AD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Найдите длину отрезка $XY$.
прямоугольник ABCD (B и C — верхние вершины, A и D — нижние, BC — длинная сторона); из вершин B и C проведены биссектрисы углов B и C (равные половинки углов отмечены дугами), отрезки BX и CY пересекаются внутри прямоугольника; на стороне AD точки идут в порядке A, Y, X, D.прямоугольник ABCD (B и C — верхние вершины, A и D — нижние, BC — длинная сторона); из вершин B и C проведены биссектрисы углов B и C (равные половинки углов отмечены дугами), отрезки BX и CY пересекаются внутри прямоугольника; на стороне AD точки идут в порядке A, Y, X, D.
Ответ:
Решение:
14700
На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ выбрана точка $P$, а на стороне $CD$ — точка $Q$. Известно, что $\angle BCP=17^\circ$, $\angle AQP=37^\circ$, $\angle QAD=16^\circ$. Сколько градусов составляет $\angle CPQ$?
прямоугольник ABCD: B — левая верхняя вершина, C — правая верхняя, D — правая нижняя, A — левая нижняя. Точка P лежит на левой стороне AB (выше середины), точка Q — на правой стороне CD (ниже середины); проведены отрезки PC, PQ и QA (зигзаг C P Q A). Отмечены углы BCP=17^ , AQP=37^ , QAD=16^ ;…прямоугольник ABCD: B — левая верхняя вершина, C — правая верхняя, D — правая нижняя, A — левая нижняя. Точка P лежит на левой стороне AB (выше середины), точка Q — на правой стороне CD (ниже середины); проведены отрезки PC, PQ и QA (зигзаг C P Q A). Отмечены углы BCP=17^ , AQP=37^ , QAD=16^ ;…
Ответ:
Решение:
14701
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ отмечена точка $K$. Точка $H$ на отрезке $AK$ такова, что $\angle AHD=90^\circ$. Оказалось, что $AK=BC$. Сколько градусов составляет угол $ADH$, если $\angle CKD=71^\circ$?
прямоугольник ABCD (B и C — верхние вершины, A и D — нижние), точка K на стороне BC немного правее её середины; проведены отрезки AK и KD и перпендикуляр DH к AK (прямой угол при H). Равные отрезки BC и AK отмечены штрихами; у вершины K отмечен угол CKD=71^ , у вершины D — искомый угол ADH («?»).прямоугольник ABCD (B и C — верхние вершины, A и D — нижние), точка K на стороне BC немного правее её середины; проведены отрезки AK и KD и перпендикуляр DH к AK (прямой угол при H). Равные отрезки BC и AK отмечены штрихами; у вершины K отмечен угол CKD=71^ , у вершины D — искомый угол ADH («?»).
Ответ:
Решение:
14702
Через вершину $D$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $\ell$, и на неё опущены высоты $AX$, $BY$, $CZ$, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата $ABCD$ равна 169, а длина отрезка $AX$ равна 5.
1. Найдите длину отрезка $CZ$.
2. Найдите длину отрезка $BY$.
квадрат ABCD, вершина D лежит на горизонтальной прямой , остальные вершины — выше прямой: A — слева и ниже всех, B — выше всех, C — справа. Из A, B, C опущены перпендикуляры AX, BY, CZ на прямую (отмечены прямые углы); точки на прямой идут слева направо в порядке X, Y, D, Z.квадрат ABCD, вершина D лежит на горизонтальной прямой , остальные вершины — выше прямой: A — слева и ниже всех, B — выше всех, C — справа. Из A, B, C опущены перпендикуляры AX, BY, CZ на прямую (отмечены прямые углы); точки на прямой идут слева направо в порядке X, Y, D, Z.
Ответ:
Решение:
14703
Квадрат $ABCD$ и равнобедренный прямоугольный треугольник $AEF$ ($\angle AEF=90^\circ$) расположены так, что точка $E$ лежит на отрезке $BC$ (см. рисунок). Найдите угол $DCF$.
квадрат ABCD (B и C — верхние вершины, A и D — нижние); точка E лежит на стороне BC ближе к B; точка F — вне квадрата, справа от стороны CD; проведены отрезки AE, EF и AF, равные отрезки AE и EF отмечены штрихами, у вершины E — знак прямого угла.квадрат ABCD (B и C — верхние вершины, A и D — нижние); точка E лежит на стороне BC ближе к B; точка F — вне квадрата, справа от стороны CD; проведены отрезки AE, EF и AF, равные отрезки AE и EF отмечены штрихами, у вершины E — знак прямого угла.
Ответ:
Решение:
14704
На диагонали $AC$ и стороне $CD$ квадрата $ABCD$ выбрали точки $M$ и $N$ соответственно так, что $MN=MD$. Найдите, чему равна длина отрезка $CN$, если $MN=10$, $AB=14$.
Ответ:
Решение:
14705
В прямоугольнике $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $K$ так, что $CK=BC$. На стороне $BC$ отмечена точка $M$ так, что $KM=CM$. Докажите, что $AK+BM=CM$.
Ответ:
Решение:
14706
В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина боковой стороны $CD$. Лучи $BD$ и $BM$ делят угол $ABC$ на три равные части. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. Найдите углы трапеции.
Ответ:
Решение:
14707
Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $\angle ADC=2\angle CAD=82^\circ$. Внутри трапеции выбрана точка $T$ так, что $CT=CD$, $AT=TD$. Найдите $\angle TCD$. Ответ дайте в градусах.
равнобедренная трапеция ABCD (основание BC сверху, AD снизу, A слева внизу, D справа внизу); внутри трапеции точка T, проведены отрезки CT, AT и TD; отрезки AB, CD и CT отмечены одним штрихом (равны), отрезки AT и TD — двумя штрихами.равнобедренная трапеция ABCD (основание BC сверху, AD снизу, A слева внизу, D справа внизу); внутри трапеции точка T, проведены отрезки CT, AT и TD; отрезки AB, CD и CT отмечены одним штрихом (равны), отрезки AT и TD — двумя штрихами.
Ответ:
Решение:
14708
Внутри трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ отметили точку $O$. Оказалось, что \[AO=BO=CO=BC\quad\text{и}\quad DA=DO=DC.\] Сколько градусов составляет угол $BAO$?
Ответ:
Решение:
14709
В трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) \[AD=2,\quad BC=1,\quad \angle ABD=90^\circ.\] Найдите сторону $CD$.
Ответ:
Решение:
14710
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $BD$. Точка $M$ — середина диагонали $AC$. Прямая $BM$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E$. Докажите, что $BE=CE$.
Ответ:
Решение:
14711
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше боковой стороны $CD$. Биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Докажите, что $AK\gt KB$.
Ответ:
Решение:

© Моисеев Д. В., 2015-2026 г. Самозанятый (налог на профессиональный доход), ИНН 771586487450