Дан прямоугольник $ABCD$. Прямая, проходящая через вершину $A$ и точку $K$ на стороне $BC$, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка $KC$, если $AD=60$.
Ответ:
Решение:
На прямоугольном листе бумаги нарисовали картинку в форме «креста» из двух прямоугольников $ABCD$ и $EFGH$, стороны которых параллельны краям листа. Известно, что $AB=9$, $BC=5$, $EF=3$, $FG=10$. Найдите площадь четырёхугольника $AFCH$.
Ответ:
Решение:
Крест, состоящий из двух одинаковых больших и двух одинаковых маленьких квадратов, поместили внутрь ещё большего квадрата. Вычислите в сантиметрах сторону самого большого квадрата, если площадь креста — 810 см$^2$.
Ответ:
Решение:
На рисунке слева направо изображены пересекающиеся квадраты со сторонами 12, 9, 7, 3 соответственно. На сколько сумма чёрных площадей больше, чем сумма серых площадей?
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AE$ и $BF$ пересекаются в точке $G$. Что больше: площадь треугольника $AGF$ или площадь четырёхугольника $GECF$?
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольник $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $K$ — середина стороны $BC$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $E$. Во сколько раз площадь четырехугольника $MBKE$ меньше площади четырехугольника $AECD$?
Ответ:
Решение:
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 200 см$^2$. Точка $O$ — центр квадрата, а точка $M$ — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
Ответ:
Решение:
На плоскости даны квадрат и правильный треугольник такие, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Найдите сторону данного квадрата.
Ответ:
Решение:
Угол $B$ при вершине равнобедренного треугольника $ABC$ равен $120^\circ$. Из вершины $B$ выпустили внутрь треугольника два луча под углом $60^\circ$ друг к другу, которые, отразившись от основания $AC$ в точках $P$ и $Q$, попали на боковые стороны в точки $M$ и $N$ (см. рисунок). Докажите, что площадь треугольника $PBQ$ равна сумме площадей треугольников $AMP$ и $CNQ$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ со стороной 9 и квадрат $DEFG$ со стороной $\pi$ имеют общую вершину $D$, при этом точка $E$ лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма $AMNF$, если точка $C$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в отношении $1:\pi$.
Ответ:
Решение:
В равносторонний треугольник $ABC$ вписан равносторонний треугольник $DEF$ (см. рис.). Треугольники $AGD$ и $BFH$ — прямоугольные, катеты $GD$ и $FH$ параллельны прямой $AB$. Площадь треугольника $AGD$ равна $9$, а треугольника $BFH$ — $1$. Найдите площадь треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ на высоте $BH$, равной основанию $AC$, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону $BC$ в точке $F$. Каково отношение площади треугольника $FCH$ к площади треугольника $ABC$? Какая часть площади треугольника $ABC$ находится внутри окружности?
Ответ:
Решение:
Найдите площадь выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB=3$, $AD=4$, $AC=6$, а площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $ADC$ и в два раза больше площади треугольника $ABD$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $\angle ABM=15^\circ$, $\angle MBN=45^\circ$ и $\angle NBC=75^\circ$, а сумма и произведение площадей треугольников $ABM$ и $NBC$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На вертикальной плоскости, изображающей стену, нарисована горизонтальная прямая, изображающая пол. На полу стоит свежеокрашенный квадрат со стороной $1$. Его кантуют (поворачивают на $90^\circ$, опираясь на одну из вершин). И так — четыре раза, пока он не будет стоять на той же стороне, что и вначале. При этом квадрат всё время касался стены, так что часть её оказалась окрашенной (или испачканной). Аналогичную процедуру проделали на другой стене, но квадрат был с диагональю длины $1$, а прокантовали его $7$ раз. На сколько меньшую площадь удалось окрасить (испачкать) во втором случае?
Ответ:
Решение:
Лёшин дачный участок имеет форму девятиугольника, у которого есть три пары равных и параллельных сторон (см. рисунок). Лёша знает, что площадь треугольника с вершинами в серединах оставшихся сторон девятиугольника равна 12 соток. Помогите ему найти площадь всего дачного участка.
Ответ:
Решение:
Через середину $M$ диагонали $AC$ произвольного выпуклого четырехугольника $ABCD$ проведена прямая $EF$ параллельная $BD$, пересекающая стороны $AB$ и $AD$. Найти площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что площадь четырехугольника $BCDF$ равна 5.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=4:5$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 48.
Ответ:
Решение:
Для улучшения жилищных условий горожан в некоторых городах реализуется программа реновации — замена не подлежащего сохранению жилищного фонда путем его сноса и капитального строительства на высвобождаемой территории. Как правило, разбор старых домов и расчистка площадки под новое строительство происходит на ограниченной территории. Поэтому нужна техника (вращающиеся экскаваторы), которая могла бы расчистить наибольшую площадь с наименьшим количеством перемещений.
На рисунке изображена схема рабочей зоны и схема перемещений экскаватора. Встав в начальную точку $E$, экскаватор первым делом очищает ближнюю к себе площадку (на ней в основном находится металлический лом). Эта площадка представляет из себя сектор окружности, ограниченный большой дугой $FG$ окружности с центром в точке $E$ и радиусом $2\sqrt2$ м, а также отрезками ее радиусов $EF$ и $EG$. Затем экскаватор перемещается в точку $O$ и очищает дальнюю от себя площадку (на ней в основном находится кирпичный лом). Эта площадка с внешней стороны ограничена большой дугой $CD$ окружности c центром в точке $O$ и радиусом 6 м, отрезками $CG$ и $FD$ (точки $F$ и $G$ находятся на соответствующих радиусах $OC$ и $OD$), а с внутренней стороны — большой дугой $FG$ первой окружности с центром в точке $E$.
Определите площадь под кирпичным ломом (без металлических остатков), если точка $O$ находится в 2 метрах от точки $E$ по направлению к центру металлического завала, угол $EOD$ равен $45^\circ$.
На рисунке изображена схема рабочей зоны и схема перемещений экскаватора. Встав в начальную точку $E$, экскаватор первым делом очищает ближнюю к себе площадку (на ней в основном находится металлический лом). Эта площадка представляет из себя сектор окружности, ограниченный большой дугой $FG$ окружности с центром в точке $E$ и радиусом $2\sqrt2$ м, а также отрезками ее радиусов $EF$ и $EG$. Затем экскаватор перемещается в точку $O$ и очищает дальнюю от себя площадку (на ней в основном находится кирпичный лом). Эта площадка с внешней стороны ограничена большой дугой $CD$ окружности c центром в точке $O$ и радиусом 6 м, отрезками $CG$ и $FD$ (точки $F$ и $G$ находятся на соответствующих радиусах $OC$ и $OD$), а с внутренней стороны — большой дугой $FG$ первой окружности с центром в точке $E$.
Определите площадь под кирпичным ломом (без металлических остатков), если точка $O$ находится в 2 метрах от точки $E$ по направлению к центру металлического завала, угол $EOD$ равен $45^\circ$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$. На продолжениях сторон $AB$, $CB$ и медианы $BM$ за точку $B$ взяты точки $K$, $L$, $N$ соответственно так, что $BK:AB=3:1$, $BL:CB=5:1$, $BN:BM=4:1$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если площадь треугольника $KLN$ равна $6\sqrt3$, а расстояние от точки $M$ до точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$ равно $1$.
Ответ:
Решение: