В прямоугольнике $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $K$ так, что $CK=BC$. На стороне $BC$ отмечена точка $M$ так, что $KM=CM$. Докажите, что $AK+BM=CM$.
Ответ:
Решение:
На диагонали $AC$ и стороне $CD$ квадрата $ABCD$ выбрали точки $M$ и $N$ соответственно так, что $MN=MD$. Найдите, чему равна длина отрезка $CN$, если $MN=10$, $AB=14$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ и равнобедренный прямоугольный треугольник $AEF$ ($\angle AEF=90^\circ$) расположены так, что точка $E$ лежит на отрезке $BC$ (см. рисунок). Найдите угол $DCF$.
Ответ:
Решение:
Через вершину $D$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $\ell$, и на неё опущены высоты $AX$, $BY$, $CZ$, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата $ABCD$ равна 169, а длина отрезка $AX$ равна 5.
1. Найдите длину отрезка $CZ$.
2. Найдите длину отрезка $BY$.
1. Найдите длину отрезка $CZ$.
2. Найдите длину отрезка $BY$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ отмечена точка $K$. Точка $H$ на отрезке $AK$ такова, что $\angle AHD=90^\circ$. Оказалось, что $AK=BC$. Сколько градусов составляет угол $ADH$, если $\angle CKD=71^\circ$?
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ выбрана точка $P$, а на стороне $CD$ — точка $Q$. Известно, что $\angle BCP=17^\circ$, $\angle AQP=37^\circ$, $\angle QAD=16^\circ$. Сколько градусов составляет $\angle CPQ$?
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 6, сторона $BC$ равна 11. Из вершин $B$ и $C$ проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону $AD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Найдите длину отрезка $XY$.
Ответ:
Решение:
Сторона ромба $ABCD$ равна $6$. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно $8$. Найти радиусы этих окружностей.
Ответ:
Решение:
Даны треугольник $ABC$ и ромб $BDEF$, все вершины которого лежат на сторонах треугольника $ABC$, а угол при вершине $E$ — тупой. Найти площадь треугольника $ABC$, если $AE=3$, $CE=7$, а радиус окружности, вписанной в ромб, равен $1$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$, точка $M$ — середины его стороны $AB$. На чертеже отметили точки $N$ и $K$. Вычислите площадь квадрата $ABCD$, если расстояние $OK=L$.
Ответ:
Решение:
Угол $A$ ромба $ABCD$ равен $60^\circ$. На продолжениях его сторон $AB$ и $AD$ за точки $B$ и $D$ взяты точки $Q$ и $P$ соответственно так, что прямая $PQ$ проходит через точку $C$. Найдите длину отрезка $BQ$, если $DP=10$, а $DQ:BP=11:10$.
Ответ:
Решение:
Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность. Найти радиус этой окружности, если сторона квадрата равна 1.
Ответ:
Решение:
Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Найти $AO$, если сторона квадрата равна 1.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ выбрана точка $K$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $8$ и $2$ соответственно. Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $3$. Найдите сторону ромба $ABCD$ и радиус окружности, вписанной в этот ромб.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABDF$ на сторонах $BD=2$ и $DF=3$ выбрали точки $C$ и $E$ соответственно, так, что треугольник $AFE$ равен треугольнику $EDC$. Потом от прямоугольника $ABDF$ отрезали треугольники $ABC$, $CDE$ и $AFE$. Найдите углы оставшегося треугольника.
Ответ:
Решение:
Точки $K$, $M$, $P$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $BKPM$ — квадрат, а расстояния от точек $K$ и $M$ до прямой $AC$ равны $13$ и $17$ соответственно. Найдите площадь квадрата $BKPM$.
Ответ:
Решение:
В ромбе $ABCD$ с острым углом $A$ продолжение высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$, пересекает прямую $CD$ в точке $P$. Известно, что высота ромба равна $1$, а $CP=\dfrac{9}{2\sqrt2}$. Найдите длину стороны ромба, если известно, что это целое число.
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P, E$ и $F$ такие, что $BE = BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в четыре раза меньше площади квадрата.
a) Докажите, что если $BP \cdot BE = \sqrt{2}$, то $AB = 2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.
a) Докажите, что если $BP \cdot BE = \sqrt{2}$, то $AB = 2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.
Ответ:
Решение:
Два квадрата — $ABCD$ и $DEFG$ — не имеют общих точек, кроме вершины $D$. Доказать, что $AE=CG$.
Ответ:
Решение: