Третий, пятый и одиннадцатый члены арифметической прогрессии, сумма которых равна 39, образуют прогрессию геометрическую. Найти сумму первых двадцати членов этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Пятый, восьмой и семнадцатый члены арифметической прогрессии, сумма которых равна 117, образуют прогрессию геометрическую. Найти сумму первых пятнадцати членов этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Три числа, сумма которых равна $45$, образуют арифметическую прогрессию. Если от первого числа отнять 1, от второго отнять 7, а к третьему прибавить 5, то получившиеся три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.
Ответ:
Решение:
Сумма пятого, восьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 66, а шестой, девятый и двенадцатый члены дают в сумме 81. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма четвертого, седьмого и десятого членов арифметической прогрессии равна 33, а третий, шестой и девятый члены дают в сумме 24. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма четвертого, восьмого и двенадцатого членов арифметической прогрессии равна 27, а третий, седьмой и одиннадцатый члены дают в сумме $21$. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма второго, шестого и десятого членов арифметической прогрессии равна 30, а четвертый, восьмой и двенадцатый члены дают в сумме 54. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма четвертого, седьмого и десятого членов арифметической прогрессии равна 45, а третий, шестой и девятый члены дают в сумме 36. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма третьего, седьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 63, а второй, пятый и восьмой члены дают в сумме 27. Найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найти все $x$, при которых числа $\{24\cdot9^x,~35\cdot6^x,~36\cdot4^x\}$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\ldots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{n}{4n+1}.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что $n^3+11n$ делится на 6 при любом $n \in \mathbb{N}$.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ такова, что $a_1=4$, $a_2=25$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n+2}$.
Ответ:
Решение:
На доску выписаны числа $a_1, a_2, \ldots, a_{200}$. Известно, что $a_1=3$, $a_2=9$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$.
Ответ:
Решение:
Антон выписал на доску числа $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{2025}$ такие, что не все они равны между собой. Внимательно изучив числа на доске, Константин заметил следующую закономерность: для любого натурального значения $k\in[2;2024]$ число $A_{k+1}-A_k$ вдвое меньше, чем $A_{k+1}-A_{k-1}$. Каково наименьшее возможное значение отношения \[ \dfrac{A_{100}-A_{98}}{A_{2023}-A_{2013}}? \]
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $x_n$ являются решениями уравнения \[ F_n(x)=\underbrace{f(f(f\ldots(f(x))\ldots)}_{n}=0 \] для всех $n\geqslant1$. Написать формулу общего члена последовательности и найти $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$, если $f(x)=2x-3$.
Ответ:
Решение: