Может ли соотношение $x_{n+2}\cdot x_{n+1}=x_{n+1}\cdot x_n-2$, $x_1=2$, $x_2=2017$ определять члены последовательности $x_n$ для всех $n$? Найти $n$, для которого $x_n=0$.
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяют соотношению $a_{n+1}=2a_n+3$, $a_1=a$ для любых $n$ и целом $a$. При каких $a$ число 637 является членом последовательности?
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=\dfrac{x}{3}+2$. Найдите значение функции \[ \underbrace{f(\ldots f(f}_{2009}(x))\ldots) \] в точке $x=4$.
Ответ:
Решение:
Точка $R_1$ — середина отрезка $ST$; точка $R_2$ — середина отрезка $SR_1$; для каждого $n\geqslant 3$ точка $R_n$ — середина отрезка $R_{n-2}R_{n-1}$. Пусть $R$ — предельное положение точки $R_n$ при $n\to\infty$. Найдите длину отрезка $RT$, если длина отрезка $ST$ равна $15$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $(a_n)$ такова, что $a_n=n^2$ при $1\leqslant n\leqslant 5$ и при всех натуральных $n$ выполнено равенство $a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n$. Найдите $a_{2015}$.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, построенную по следующему правилу: $x_1=14$, $x_2=20$, а $x_{n+1}$ — наименьшее составное число, которое больше, чем $2x_n-x_{n-1}$. Найдите $x_{30001}$.
Ответ:
Решение:
В бесконечной числовой последовательности $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n,\ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n\in\mathbb{N}$ справедливо соотношение \[ 3x_{n+2}-4x_{n+1}+x_n=0. \] Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{x_{2022}-x_{2020}}{x_{2025}-x_{2021}}$. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Последовательность $x_n$ такова, что $x_0=2$, а для всех целых неотрицательных $n$ \[ \dfrac{x_{n+1}}{4n^2+12n+10}=\dfrac{x_n}{4n^2+4n+2}-1. \] Найдите $x_{100}$.
Ответ:
Решение:
Члены двух числовых последовательностей $a_n$ и $b_n$ связаны между собой соотношениями \[ \begin{cases} 2a_{n+1}=\sqrt3a_n-b_n,\\ 2b_{n+1}=a_n+\sqrt3b_n, \end{cases}\quad a_1=b_1=1 \] для всех натуральных $n$. Найти наименьшее натуральное число $m$, для которого $a_{n+m}=a_n$, $b_{n+m}=b_n$ при любых $n$. Найти значения $a_{2021}$ и $b_{2021}$.
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $a_n$ удовлетворяют соотношению: $a_{n+2}=a_n-\dfrac{2}{a_{n+1}}$, $a_1=8$, $a_2=19$. Найти $n$, для которого $a_n=0$.
Ответ:
Решение:
В кувшин залили 7 литров воды. Ровно через сутки в кувшин добавили 5 литров воды, и эту операцию повторяли каждые очередные сутки. В промежутках между доливаниями из кувшина успевали выпить ровно половину воды, имевшейся после предыдущей заливки.
а) Какого минимального объёма должен быть кувшин, чтобы он никогда не мог наполниться при данных условиях?
б) На какой день кувшин такого объёма впервые окажется наполнен не менее чем на 99,9 процента?
а) Какого минимального объёма должен быть кувшин, чтобы он никогда не мог наполниться при данных условиях?
б) На какой день кувшин такого объёма впервые окажется наполнен не менее чем на 99,9 процента?
Ответ:
Решение:
Дана бесконечная числовая последовательность $a_1, a_2, \ldots$, о которой известно следующее: $a_1=20$, $a_{n+1}=a_na_{n+2}$, $n\in\mathbb{N}$. Найдите все значения, которые может принимать $a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность чисел задана следующим образом: $a_1=0$, $a_2=1$ и $a_{n+1}=4(a_n-a_{n-1})$ при $n\geqslant2$. Найдите наименьший положительный член последовательности, кратный $2014$. В ответе укажите номер этого члена.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана формулами $a_1=\frac{4043}{2022}$, $a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+3a_n$. Найдётся ли натуральное число $n$ такое, что $|a_n|\leqslant\frac{2022}{2021}$? Обоснуйте свой ответ.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность чисел, члены которой удовлетворяют соотношению: \[ b_n\cdot b_{n-2}^3=b_{n-3}\cdot b_{n-1}^3 \] при всех $n=4,5,6\ldots$ Найдите $b_{2023}$, если известно, что $b_1=2$, $b_2=1$, $b_3=2$.
Ответ:
Решение:
Студент написал программу перекрашивания пикселя в один из 128 различных цветов. Эти цвета он занумеровал натуральными числами от 1 до 128, причем основные цвета получили следующие номера: белый цвет — номер 1, красный — 5, оранжевый — 13, желтый — 19, зеленый — 23, голубой — 53, синий — 55, фиолетовый — 83, черный — 128. Если исходный цвет пикселя имеет номер $n\leqslant 17$, то программа студента перекрашивает его в цвет с номером $3n-2$, а если исходный цвет пикселя имеет номер $n\geqslant 18$, то пиксель перекрашивается в цвет с номером $|129-2n|$. Изначально пиксель имел красный цвет. К нему студент последовательно применил свою программу 2019 раз. В какой цвет в результате окрасился пиксель?
Ответ:
Решение:
Коля записывает в тетрадь натуральные числа. Первым он пишет число 4, вторым — число 6. Каждое следующее число он пишет по следующему правилу. Если последними записанными числами были числа $a$ и $b$ (в указанном порядке), то следующим он записывает наименьшее составное число, которое больше, чем $2b-a$. Какое число он запишет 1501-м?
Ответ:
Решение:
Вася задал последовательность $x_n$ следующим образом: $x_0=2$, а для любого натурального $n$ \[ x_n=\left(n^4-2n^2+2\right)\left(\dfrac{x_{n-1}}{n^4-4n^3+4n^2+1}+2\right). \] Чему равно значение $x_{100}$?
Ответ:
Решение:
Последовательность $(a_n)$ удовлетворяет условиям\[a_0=0,\quad a_1\neq 0,\quad a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+a_{n+1}}\quad\text{при всех } n\geqslant 0.\]Какие значения может принимать $a_{2024}$?
Ответ:
Решение:
День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льёт дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что $1$ января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В $2015$ году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе $2015$ года?
Ответ:
Решение: