Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на 2 больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $\frac{36}{5}$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \ldots, b_{3000}$, все члены которой положительны, а их сумма равна $S$. Известно, что если все её члены с номерами, кратными 3 (т. е. $b_3, b_6, \ldots, b_{3000}$), увеличить в 50 раз, сумма $S$ увеличится в 10 раз. А как изменится $S$, если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b_2, b_4, \ldots, b_{3000}$), увеличить в 2 раза?
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ являются первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии соответственно (числа $a$, $b$, $c$ не заданы), а четвёртый член прогрессии является корнем уравнения $ax^2+2bx+c=0$. Найдите третий член прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите все действительные значения $x$, при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её седьмой член равен $\sqrt{(25x-9)(x-6)}$, девятый член равен $x+3$, а пятнадцатый член равен $\sqrt{\dfrac{25x-9}{(x-6)^3}}$.
Ответ:
Решение:
Ваня с родителями ест плитку шоколада. Сначала мама откусила 13-ую часть плитки, а оставшуюся часть отдала Ване. Затем Ваня откусил 13-ую часть от того, что осталось, и отдал остальное папе. После этого папа откусил 13-ую часть от полученного и отдал остаток маме. Далее мама снова откусила 13-ую часть, отдала остаток Ване и так далее (до бесконечности). Во сколько раз больше шоколада, чем Ваня, съели мама и папа вместе? Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Какие значения может принимать выражение \[ \log_{b_{11}b_{50}} b_1b_2\ldots b_{60}, \] где $b_1$, $b_2$, $\ldots$ — геометрическая прогрессия?
Ответ:
Решение:
Положительные числа $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$, $b_5$ составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10. Найдите эти числа, если $\log_3 b_1\cdot\log_3 b_5=3$.
Ответ:
Решение:
Геометрическая прогрессия состоит из шести членов. Среднее арифметическое её первых четырёх членов равно 15, а среднее арифметическое последних четырёх членов равно 60. Чему может быть равен последний член прогрессии?
Ответ:
Решение:
Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $11$ членов прогрессии равна $6$, а сумма обратных величин этих членов равна $24$. Найдите шестой член прогрессии.
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может принимать знаменатель геометрической прогрессии $b_1, b_2, \ldots$, если число $5$ является корнем уравнения $b_{10}x^9+\ldots+b_3x^2+b_2x+b_1=0$?
Ответ:
Решение:
Сумма $b_5+b_6+\ldots+b_{2019}$ членов геометрической прогрессии $\{b_n\}$, $b_n\gt 0$ равна $18$, а их произведение $b_5\cdot b_6\cdot\ldots\cdot b_{2019}$ равно $3^{2015}$. Найти сумму обратных величин $\dfrac{1}{b_5}+\dfrac{1}{b_6}+\ldots+\dfrac{1}{b_{2019}}$.
Ответ:
Решение:
Числа 54 и 128 являются членами геометрической прогрессии. Найдите все натуральные числа, которые могут встретиться в этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$. Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=3$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$. Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=3$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $2$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $2$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=2$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=2$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $3$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $3$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=4$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=4$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $2{,}5$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $2{,}5$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
Какое максимальное возможное количество идущих подряд членов возрастающей геометрической прогрессии могут быть 3-значными натуральными числами? Приведите пример такой последовательности.
Ответ:
Решение:
Иллюминатор представляет собой однокамерный стеклопакет (два однородных одинаковых стекла). Определите, какой процент света пропускает одно стекло, если известно, что внутрь корабля стеклопакет пропускает треть попадающего на него света, а остальное отражается (без потерь).
Ответ:
Решение: