Про последовательность $\{a_n\}$ известно, что $a_1=1{,}5$ и $a_n=\dfrac{1}{n^2-1}$ при $n\in\mathbb N$, $n\gt 1$. Существуют ли такие значения $n$, что сумма первых $n$ членов этой последовательности отличается от $2{,}25$ меньше, чем на $0{,}01$? Если да, то найдите наименьшее из них.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $\{a_n\}$, в которой $a_1=19$, а отношение каждого следующего элемента к предыдущему при всех целых $n\geqslant 2$ равно \[ \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{(n^2+1)\cdot n}{(n-1)^2+1}. \] Найдите отношение 2023-го члена последовательности к сумме её первых 2022 членов.
Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\frac{2-1}{2^3-1}+\operatorname{arctg}\frac{3-1}{3^3-1}+\ldots+\operatorname{arctg}\frac{100-1}{100^3-1}\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите сумму: \[ \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{2}+\frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2^2}+\frac{\sin\frac{3\pi}{3}}{2^3}+\ldots+\frac{\sin\frac{2010\pi}{3}}{2^{2010}}. \]
Ответ:
Решение:
Пусть \[ S_n=f(0)+f\left(\frac1n\right)+f\left(\frac2n\right)+\ldots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)+f(1). \] Найдите $S_{2013}$ для $f(x)=\dfrac{9^x}{9^x+3}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислите\[\operatorname{tg}\frac{\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{2\pi}{43}+\operatorname{tg}\frac{2\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{3\pi}{43}+\ldots+\operatorname{tg}\frac{k\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{(k+1)\pi}{43}+\ldots+\operatorname{tg}\frac{2019\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{2020\pi}{43}.\]
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $a_k=\dfrac{1}{k^2+k}$, $k\in\mathbb{N}$. Известно, что\[a_p+a_{p+1}+\ldots+a_{q-1}=\frac{1}{43}\]для некоторых натуральных $p$ и $q$ ($p\lt q$). Найдите $p+q$.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $a_n=n!\,(n^2-2025n+1)$ для всех натуральных $n$. Найдите сумму первых 2025 членов этой последовательности.
Ответ:
Решение:
Найдите величину\[f\left(\frac{1}{2016}\right)+f\left(\frac{2}{2016}\right)+\ldots+f\left(\frac{2016}{2016}\right),\]если $f(x)=\dfrac{x^3+9x-2}{x^2-x+2}$.
Ответ:
Решение:
Какое из чисел больше: $\dfrac{1}{99}$ или\[\frac{1}{9903}+\frac{1}{9903+200}+\frac{1}{9903+200+202}+\ldots+\frac{1}{9903+200+202+\ldots+2018}?\]
Ответ:
Решение:
Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2012}$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, причём $\cos\alpha_k\neq 0$ для всех $k=1,2,\ldots,2012$ и \[\frac{1}{\cos\alpha_1\cdot\cos\alpha_2}+\frac{1}{\cos\alpha_2\cdot\cos\alpha_3}+\ldots+\frac{1}{\cos\alpha_{2011}\cdot\cos\alpha_{2012}}=0.\] Найдите все возможные значения $d$, не превосходящие по модулю $\pi$.
Ответ:
Решение:
Сравните числа \[\left(1+\frac{2}{3^3}\right)\left(1+\frac{2}{5^3}\right)\ldots\left(1+\frac{2}{2013^3}\right)\quad\text{и}\quad\sqrt{\frac32}.\]
Ответ:
Решение:
Стрелок сделал $30$ выстрелов в мишень. За первое попадание ему начислили $13$ баллов, а за каждое следующее попадание начисляли на $0{,}9$ баллов больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал $215{,}4$ балла?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии в $3$ раза меньше суммы последующих пяти её членов. Найдите третий член этой прогрессии, если седьмой член равен $52$.
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая арифметическая прогрессия $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ Известно, что \[a_3+a_6=23,\quad a_6^2-a_3^2=207.\] Чему равен девятый член прогрессии?
Ответ:
Решение:
Пусть $S_k$ обозначает сумму первых $k$ членов прогрессии. Известно, что для некоторой арифметической прогрессии при всех натуральных значениях $n$ справедливо соотношение \[ S_{3n}-S_n=12n^2+n. \] Найдите восьмой член прогрессии.
Ответ:
Решение:
На бильярдном столе из одинаковых 153 шаров выложен правильный треугольник. Расположение шаров плотное: ни один дополнительный шар не может быть помещен в треугольник и любая пара соседних шаров в треугольнике касаются друг друга. Сколько шаров составляют сторону треугольника?
Ответ:
Решение:
Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого её членов меньше 4. Найдите первый член этой прогрессии.
Ответ:
Решение: